Какво трябва да знаем:           Развитие на функция f(x) в ред на Тейлор около точката x0
Остатъчен член в реда на Тейлор във форма на Лагранж       Производна на сложна функция на повече променливи Диференциален оператор за функция на 2 променливи
Висша математика II част

Ред на Тейлор за функция на две променливи

За страницата работиха Ведат Руфатов и Шериф Сали

Да припомним развитието на функцията F=F(t) в ред на Маклорен около 0 и да представим остатъчния член във формата на Лагранж.
Ред на Маклорен Row1
При t = 1 получаваме:
Ред на Маклорен Row2.

Но за това – по-нататък.
Нека функцията на две променливи f = f (x, y) е достатъчно пъти непрекъснато диференцируема и да положим в горното развитие
F(t)=f(x+t.Δx, y+t.Δy)
Да припомним правилата за диференциране на сложна функция на повече променливи в този случай:
Ако f е функция на две променливи (u, v), които от своя страна зависят от променливата t то:
Производна на сложна функция dfDivDt1

Нека Смяна на променливите Sys1 Формула F1       Тогава: Формула F2
Но частните производни на f спрямо u и v са съответно равни на тези спрямо x и y, както се вижда от равенствата: Система Sys2
Същото се отнася и за производните от по-висок ред.       Например Формула F3
Така че: Формула F4
В последното равенство сме използвали диференциалния оператор Диференциален оператор DiffOper1
Да сметнем и вторите производни:
Диференциален оператор DiffOper2
Последното равенство се получава чрез замяната на диференцирането по (u,v) с това по (x,y).
Равенството на тези частни производни е аргументирано по-горе.
Сега вече тенденцията е ясна, но да опитаме и с третите производни.

Диференциален оператор DiffOper3
Така се показва, че         Диференциален оператор DiffOperk,         където D e диференциалният оператор         Диференциален оператор DiffOper1
Едно по-прецизно доказателство изисква прилагане на метода на математическата индукция, но тук ще го пропуснем.
Замествайки в         Ред на Маклорен Row2         получаваме: Ред на Тейлор за функции на две променливи TaylorComm
Да разпишем подробно нещата при n = 1.
Ред на Тейлор за функции на две променливи Taylor2


Какво ще научим:
Екстремуми на функции на две променливи-доказателство