Да припомним развитието на функцията F=F(t) в ред на Маклорен около 0 и да
представим остатъчния член във формата на Лагранж.
При t = 1 получаваме:
.
Но за това – по-нататък.
Нека функцията на две променливи f = f (x, y) е достатъчно пъти непрекъснато
диференцируема и да положим в горното развитие
F(t)=f(x+t.Δx, y+t.Δy)
Да припомним правилата за диференциране на сложна функция на повече
променливи в този случай:
Ако f е функция на две променливи (u, v), които от своя страна зависят от
променливата t то:
Нека
Тогава:
Но частните производни на f спрямо u и v са съответно равни на тези спрямо x и y,
както се вижда от равенствата:
Същото се отнася и за производните от по-висок ред.
Например
Така че:
В последното равенство сме използвали диференциалния оператор Да сметнем и вторите производни:
Последното равенство се получава чрез замяната на диференцирането по (u,v)
с това по (x,y).
Равенството на тези частни производни е аргументирано по-горе.
Сега вече тенденцията е ясна, но да опитаме и с третите производни.
Така се показва, че
,
където D e диференциалният оператор
Едно по-прецизно доказателство изисква прилагане на метода на математическата индукция,
но тук ще го пропуснем.
Замествайки в
получаваме:
Да разпишем подробно нещата при n = 1.
.
Тогава:
,
където D e диференциалният оператор
