Екстремуми на функции на две променливи - доказателство
Нека z = z (x;y) e дефинирана в област в равнината Oxy,
за която точката A(x0;y0) е вътрешна.
Казваме, че функцията z = z (x;y) има локален максимум в точката А , ако съществува околност
O(A, ε) на A, за всяка точка от която стойността на z е не по- голяма от стойността в точката A.
Аналогична е и дефиницията за локален минимум.
Ако функцията f има локален максимум или минимум, казваме че те има екстремум.
Нека z = z(x,y) е диференцируема функция.
Координаните на точките , които удовлетворяват системата
се наричат стационарни точки.
А(x0 , y0 ) е стационарна точка за функцията z от тук не следва че z
има екстремум в тази точка.
Стационарни точки при които функцията няма екстремум се наричат седлови или точки на "мини-макс".
Типичен пример за такава точка е O(0, 0) за функцията z = x2 - y2
Предполагаме че функцията f=f(x,y) е има непрекъснати втори частни производни.
Нека нейното разлагане в ред на Тейлор до първи ред е
Ако точката A(x0 , y0 )
е стационарна точка, то първите частни производни в f в точката A са нули.
Така получаваме разлагането:
Да разгледаме детерминантата, образувана от вторите частни производни на f:
Да положим за краткост стойностите на вторите производни в точката
(x0, y0) със E,F, G:
Ще покажем, че ако
Δ 0 = E.G - F2 > 0 то f има екстремум в критичната точка
A(x0 , y0 ) .
Ако числото Δ0 > 0 то поради непрекъснатостта на вторите производни
също е положително в някаква околност на A(x0 ,y0 )
Ще определим такава околност на A (x0 , y0 ) ,
за която знакът на Δ(x,y) съвпада със знака на
Δ0 = Δ(x0 ,y0 ) и
знакът на f //xx(x,y) = E/ съвпада с този на
f //xx(x0 ,y0 ) = E .
Изразът
може да се запише така:
Ако Δf има определен знак в околност на точката A то f има екстремум в тази точка.
Ако
f има минимум а в обратния случай – максимум.
Знакът на Δf съвпада с този на квадратния тричлен
.
Ако квадратният тричлен
е с отрицателна дискриминанта, то Δf има определен знак -
положителен, ако E’>0 и отрицателен, ако E’<0.
А тя е равна на -Δ(x , y ) = E’ F’ - G’2 .
Но знаците на E’ и Δ(x, y) съвпадат в определена околност на A със знаците на
E и Δ(x0 , y0 ).
Така получаваме достатъчното условие за съществуването на локален екстремум на функция на две променливи:
Ако f = f(x,y) има непрекъснати втори частни производни и точка
A(x0 , y0 ) е критична точка то
ако
f има екстремум в тази точка.
Ако
този екстремум е минимум а ако
той е максимум.