Какво трябва да знаем:           Частни производни от втори ред
Ред на Тейлор за функция на две променливи           Екстремуми на функции на две променливи- теория 		Висша математика II част

Екстремуми на функции на две променливи - доказателство


Нека z = z (x;y) e дефинирана в област в равнината Oxy, за която точката A(x0;y0) е вътрешна.
Казваме, че функцията z = z (x;y) има локален максимум в точката А , ако съществува околност O(A, ε) на A, за всяка точка от която стойността на z е не по- голяма от стойността в точката A. Символична дефиниция Def
Илюстрация за максимум Draw
Аналогична е и дефиницията за локален минимум.
Ако функцията f има локален максимум или минимум, казваме че те има екстремум.
Нека z = z(x,y) е диференцируема функция.
Координаните на точките , които удовлетворяват системата Система за намиране на стационарните точки се наричат стационарни точки.
А(x0 , y0 ) е стационарна точка за функцията z от тук не следва че z има екстремум в тази точка.
Стационарни точки при които функцията няма екстремум се наричат седлови или точки на "мини-макс".
Типичен пример за такава точка е O(0, 0) за функцията z = x2 - y2
Предполагаме че функцията f=f(x,y) е има непрекъснати втори частни производни.
Нека нейното разлагане в ред на Тейлор до първи ред е
Ред на Тейлор за функция на две променливи Row1
Ако точката A(x0 , y0 ) е стационарна точка, то първите частни производни в f в точката A са нули.
Така получаваме разлагането:
Ред на Тейлор за тационарна точка Row2
Да разгледаме детерминантата, образувана от вторите частни производни на f:       Детерминанта Dis1
Да положим за краткост стойностите на вторите производни в точката (x0, y0) със E,F, G:       Стойностите на вторите частни производни в точката А EFG
Ще покажем, че ако Δ 0 = E.G - F2 > 0 то f има екстремум в критичната точка A(x0 , y0 ) .
Ако числото Δ0 > 0 то поради непрекъснатостта на вторите производни
Вторите частни производни в точката A EFG1 също е положително в някаква околност на A(x0 ,y0 )
Ще определим такава околност на A (x0 , y0 ) , за която знакът на Δ(x,y) съвпада със знака на Δ0 = Δ(x0 ,y0 ) и
знакът на f //xx(x,y) = E/ съвпада с този на f //xx(x0 ,y0 ) = E .
Изразът      Нарастването на f Row3
може да се запише така:      Нарастването на f Row4
Ако Δf има определен знак в околност на точката A то f има екстремум в тази точка.
Ако      Делта f Df      f има минимум а в обратния случай – максимум.
Знакът на Δf съвпада с този на квадратния тричлен Квадратен тричлен K1.
Ако квадратният тричлен Квадратен тричлен K1 е с отрицателна дискриминанта, то Δf има определен знак -
положителен, ако E’>0 и отрицателен, ако E’<0.
А тя е равна на -Δ(x , y ) = E’ F’ - G’2 .
Но знаците на E’ и Δ(x, y) съвпадат в определена околност на A със знаците на E и Δ(x0 , y0 ).
Така получаваме достатъчното условие за съществуването на локален екстремум на функция на две променливи:
Ако f = f(x,y) има непрекъснати втори частни производни и точка A(x0 , y0 ) е критична точка то
ако Числова детерминанта f има екстремум в тази точка.
Ако      Втората производна на f спрямо x е положителна - минимум fxxPl      този екстремум е минимум а ако      Втората производна на f спрямо x е отрицателна - максимум fxxMin      той е максимум.

Какво ще научим:
Екстремуми на функции на две променливи- теория
Решения на типични изпитни задачи
Ако една квадратична форма са има определен знак тя се нарича дефинитна (положително или отрицателно).