Какво трябва да знаем:
Случайни величини
Дискретни случайни величини
Висша математика I част
Съдържание на висша математика I част
Съдържание на висша математика II част
Съдържание на висша математика III част

Непрекъснати случайни величини


Ако случайната величина приема стойности в един или няколко интервала от числовта ос, тя се нарича непрекъсната случайна величина.
Пример 1
Избираме случайно един човек и измерваме неговата височина с висока точност.
Получената величина считаме за непрекъсната случайна величина.
Уточнението за високата точност е необходимо, за да не се ограничим, например с точността до един сантиметър, защото ако минималната височина е нула а максималната 4 метъра при това ограничение се получават "само" 401 възможни стойности.
Пример 2
Избираме случайно точка от отсечката (0, 1) от числовата ос.
Съответното число може да се счита за непрекъсната случайна величина.
"Може да се счита" , защото не е съвсем ясно какво се има предвид под "точка" в този случай.
Да намерим вероятността случайно избраното число да е по - голямо от 0.333... = 1/3.
Това е отношението на дължината на отсечката (1/3; 1) към дължината на отсечката (0; 1), което е 2/3.
Толкова е и търсената вероятност.
Вероятността да попаднем в конкретна точка, например е равна на нула.
Пример 3
В този пример избираме случайна стойност - a в интервала а случайната величина е sin(a).
Ще намерим вероятността, в този случаен процес, получената стойност да е по-голяма от 0,5.
За са се получи желаното от нас събитие, е необходимо a да е в интервала от 30 до 90 градуса, дължината на този интервал е 2/3 от тази на целия.
Толкова е и търсената вероятност.
Нека случайната величина X може да заема стойности в интервала и нека F(x) е такава функция, за която е изпълнено:
.
Функцията F(x) се нарича функция на разпределение.

Свойства на функцията на разпределение на непрекъсната случайна величина


1. F(x) заема стойности между 0 и 1.
2. F(x) е растяща функция.
3. F(x) клони към 0 при x клонящо към минус безкрайност и
към 1 при x клонящо към плюс безкрайност.
4. F(x) е непрекъсната функция.
5. Вероятността сл. вел. X да приеме стойност между a и b
е равна на F(b) - F(a).

Ако предположим, че функцията на разпределение - F(x) е непрекъсната,
то X се нарича непрекъсната случайна величина.
При непрекъснатите случайни величини, за разлика от дискретните, P( X = x ) = 0.
Да предположим още, че F(x) е диференцируема и .
От формулата на Нютон – Лайбниц следва, че вероятността - P случайната величина X да заеме стойност между x и x + Dx се намира по формулата :
.

Функцията f(x) се нарича плътност на разпределение на случайната величина X.
Графиката на y = f(x) се нарича крива на разпределение.

Свойства на плътността на разпределение



1. f(x) е неотрицателна.
2. f(x) е нормирана.
3. f(x) клони към 0 при x клонящо към минус или плюс безкрайност.
4. Вероятността случайната величина X
да приеме стойност между a и b е равна на
лицето на криволинейния трапец
ограничен от вертикалните прави x = a и x = b.
5. Функцията на разпределение е
примитивна на функцията на плътността f(x).

Пример 1
При каква стойност на параметъра C, функцията:

може да бъде плътност на разпределение на някоя непрекъсната случайна величина X ?
Намерете:
Решение:



Пример 2
Дадена е функцията на разпределение на непрекъсната случайна величина X

а) Намерете коефициента C.
б) Намерете плътността на разпределение на случайната величина X и постройте графике на F(x) и f(x).
в) Намерете вероятнотта, случайната величина да попадне в интервала [3; 4).

Понеже X е непрекъсната F(5) = 1.
в интервала между 3 и 5.

Ето я и графиката:

Разбира се може да се сметне и така:


Какво ще научим:
Числови характеристики на непрекъснати случайни величини
средна стойност, дисперсия, стандартно отклонение (работим)