Какво трябва да знаем:     z –преобразувание (z –трансформация)       Поасоново разпределение      
Биномно и геометрично разпределение - схеми на Бернули        
Редове на Маклорен за елементарни функции – таблица       Независими случайни величини 		Теория на вероятностите и
Теория на масовото обслужване

Приложение на z –преобразуванията в теорията на вероятностите - дискретни разпределения

Нека е дадена дискретна случайна величина X с ред на разпределение         Закон на разпределение –Distr1
Извършваме z-преобразувание на редицата         z –преобразувание -z_tr1
Получената функция в теорията на вероятностите то се нарича пораждаща функция на случайната величина X.
В общия случай се означава с GX(z) . Тя може да се разглежда и като средна стойност на случайната величина zX .

Пораждащата функция GX(z) като математическо очакване на zX

От случайната величина X можем да сьставим друга – zX.
Да намерим нейното математическо очакване - E(zX).
Означаваме вероятността за събитието „случайната величина X да заеме стойност i” с pi:         полагане за вероятностите -Subs_pi
Тогава за математическото очакване на zX имаме:         Средната стойност на –Ez1

Ако е известна пораждащата функция GX(z) може да се възстановят вероятностите pi =P(X=i).
Това можем да се направи като развием GX(z) в степенен ред спрямо z.
Сумата от вероятностите, средната стойност и втория момент – SecondMom1
Ще докажем третото свойство:
Втората производна –SecDer1
При z=1 получаваме:
Стойността на втората производна при z=1 – SecDer2
Да добавим към тези суми събираемите Първите две събираеми – FirstSum1
Достигаме до: Стойността на втората производна при z=1 – SecDer3

Пораждащите функции на Бернулеивото, геометричното и Поасоновото разпределение са:
Пораждащи функции -GenFunc0
преобразувание за биномното разпределение -GenFuncBin
Това за биномното разпределение.
Сега да видим за геометричното:
преобразувание за геометричното разпределение - GenFuncGeom
Да отбележим, че тук случайната величина е „Брой опити до първия успех”.
От това е и началната нула.
За Поасоновото:
Пораждаща функция за Поасоновото разпределение - GenFuncPoisson

Ще намерим средните стойности и дисперсиите на трите разпределения.
Решение за биномното разпределение -SolutionBin

Това за биномното разпределение.
Сега за геометричното:
Решение за геометричното разпределение -SolutionGeom

И сега за Поасоновото:
Решение за Поасоновото разпределение -SolutionPoisson

Както беше споменато, ако е известна пораждащата функция GX(z) може да се възстановят вероятностите pi =P(X=i).
Това можем да се направи като развием GX(z) в степенен ред спрямо z.
Пример 1
Нека p+q=1 и     Пораждаща функция CoeffGeom1     Ще намерим вероятностите P(X=i) = pi .
Развиваме GX(z) в степенен ред:
Коефициентите -CoeffGeom2

Коефициентът пред zi е p.qi i = 0, 1, 2, ... следователно Коефициентите -CoeffGeom3

Пример 2
Нека         Пораждаща функция -CoeffPoisson1 .         Ще намерим вероятностите P(X=i) = pi .
Развиваме GX(z) в степенен ред.
Коефициентите -CoeffPoisson2

Тогава вероятността P( X=i ) е коефицентът пред z i   –         Коефициентите -CoeffPoisson3         i = 0, 1, 2, 3, ...
Този ред отговаря на Поасоново разпределение.

Ако X1 и X2 са независими случайни величини то         Пораждаща функция на сума на случайни величини -SumIndependant1        
Първо доказателство ( непосредствено)
Понеже X1 и X2 са независими случайни величини то Вероятнот на произведение –ProbProd1
Първа вероятност в произведенито ще означим pi а втората с qi . Пораждаща функция на сума на случайни величини -SumIndependant2
Сменяйки реда на сумиране, като първо сумираме по n а след това по i получаваме
Първо по i, после по n –Im1 Първо по n, после по i –Im2
Сума -SumIndependant3
Полагаме n-i=:k.       Сума -SumIndependant4
Второто доказателство
( чрез използването на теоремата че ако случайните величината А и В са независими то
за средата стойности на тяхното произведение е изпълнено E(A.B)=E(A).E(B).
Понеже X1 и X2 са независими такива са и z на степен случайните величини -zX_X1         Средна стойност-zX_X2
Тогава от теоремата         Теорема за средната стойност на произведение на независими случайни величини -zX_X3

Ако X1 , X2 , ... Xn са независими, Поасново разпределени случайни величини с параметри λ 1 , λ 2 , ... λ n то
тяхната сума е сьщо Поасоново разпределена случайната величина с параметьр Параметър -Lambda1_n .
Ако X е Поасонова случайна величина то         Пораждаща функция -GenPoisson_N_X1
От предното твърдение и независимостта на Xi :
Пораждаща функция на сума -GenPoisson_N_X2
Първото равенство следва от представянето на пораждащата функция като средна стойност.
Третото равенство е поради независимостта на случайните величини.
Знаейки пораждащата функция на Поасоновото разпределение получаваме:
Произведение на пораждащи функции -GenPoisson_N_X3
От тази пораждаща функция може да се вастанови редът на разпределенито.
То е Поасоново с параметьр         Lambda1_n.

Нека X1 , X2 , X3 ... са независими, еднакво разпределени случайни величини, заемащти стойностите 0, 1, 2, ... .
Следователно те имат еднакви пораждащи функции GX(z).
Случайната величина Сума от случаен брой, еднакво разпределени случайни величини -PoissonSum1_N1 е сумата на първите N.
N e дискретна случайна величина, със същите стойности 0, 1, 2, ... с пораждащта функция GN(z) .
Тогава -PoissonGenFunc1.
Да означим с pi вероятността P(N=i). При N=0 Y=0.
Засега израза p0z0 го оставяме настрана.
Условните вероятности P(Y=S|N=i) ги нанасяме в таблица.
Условни вероятности -PoissonIm
Ако фиксираме N-тата колона, умножим елементите й по степените на z и съберем ще получим
-PoissonGenFunc2
Получентите степенни редове на z трябва да умножим по pN и да съберем по N.
Не трябва да пропуснем и p0z0 .
Получаваме       Резултат -Res1
Това доказателство го разбирам, но това , от книгата на Дж. Виртамо „Теория на масовото обслужване” 2
Неразбрано от мен доказателство -PoissonIm2

Литература:
1 Уйлям Фелър Увод в теорията на вероятностите и нейните приложения Издатлство „Наука и изкуство” 1986 г.
2. J Virtamo Queueing Theory / Discrete distributions

Какво ще научим:    
Приложение на z –преобразуванията в теорията за масовото обслужване 		Теория на вероятностите и теорията за масовото обслужване