Какво трябва да знаем:    
Числови характеристики на дискретна случайна величина - математическо очакване и дисперсия      
Условна вероятност       		Теория на вероятностите и
Теория на масовото обслужване

Независими случайни величини - вариация и ковариация

Средната стойност на случайната величина X ще означаваме с E(X).
Свойство на средното –PropE1
Дисперсията на X тук ще означаваме с Var(X).

Дефиниция за вариация –VarDef1
Свойство на вариацията-Var1
Случайната величина X-E(X) ще наричаме центрирана на X.
Нека са дадени две дискретни случайни величини – X и Y, заемащи стойности 0, 1, 2 ...
Стойностите им в доказателствата ще означаваме с x0 , x1 , x2 , ... и с y0 , y1 , y2 , ...
Означаваме с P( (X=i).(Y=j) ) вероятността първата случайна величина да заеме стойност i а втората j.
Тази, съвместна вероятност ще означаваме с Pij .
Да означим с pi вероятността P( (X=i) ) а с qj вероятността P( (Y=j) ). pi и qj се наричат „маргинални” , което означава гранични.

Маргинални вероятности
Съвместни и маргинални вероятности-Pict11
Сума на граничните вероятности-SumPict1
Гранични вероятности-SumPict2
Условната вероятност случайната величина X да заеме стойност i при условие, че Y=j се задава с формулата Условна вероятност – Cond1
Двете величини X и Y ще наричаме независими ако Pij =pi.qj или по подробно и символично:
Дефиниция за независимост на две случайни величини- UnCond1
От случайните величини - X и Y можем да съставим други X+Y и X.Y. За тези, новите можем да потърсим средната стойност и дисперсията.
Средната стойност на X+Y е равна на сумата от средните стойности на X и на Y:     E(X+Y)=E(X)+E(Y)
В това твърдение не се изисква независимостта на случайните величини X и Y.
сума на две случайни величини -EXPlusY
Ако двете случайни величини X и Y са независими то:     E(XY)=E(X)E(Y).
Средната стойност на XY-EXY
Във второто равенство се използва независимостта на X и Y.
Дисперсията на случайна величина е равна на нейната вариация.
Ковариация на случайните величини X и Y се нарича средната стойност на произведението на съответните им центрирани.
Дефиниция за ковариация –CovDef1
D(X)= Var(X)=Cov(X,X)

В сила е равенството:       Дефиниция за ковариация –CovDef2
Разкриваме вътрешните скоби:
Разкриване на вътрешните скоби -CovProof1_1
Тук E(X) и E(Y) са константи.
Използваме равенството       Свойство на средното –PropE1       и поучаваме:
-CovProof1_2
Ако двете случайни величини X и Y са независими то тяхната ковариация е нула.
Дефиниция за ковариация –CovDef2

Ако X и Y са независими то E(XY)=E(X)E(Y)         И от това следва твърдението.
Важно е да се отбележи, че обратното не е вярно.
Вариацията на сума на две случайни величини е равна на сумата от тяхните вариации и удвоената тяхна ковариация.
Вариация на сума-VarSum1
Ще означаваме за краткост средната стойност на     Означение за средна стойност-Notation1
Формула за съкратено умножение-VarSum2

Ще използваме свойството за сума на две случайни величини Свойство за сума на две случайни величини -PropESum1
Свойство на средна стойност на сума-VarSum3

Използвайки дефинициите на вариация и ковариация
Дефиниция за вариация –VarDef1
Дефиниция за ковариация –CovDef1
получаваме желаното равенство:
Вариация на сума-VarSum1
Ще докажем формулата       Средна на средна, условна-EConditional1
Средната на X-EConditional1_1
Сега да пресметнем       Средната на X/Y -EConditional1_2
Средната на X/Y -EConditional1_3

И накрая E(X)
Средната на средната на X/Y -EConditional1_4

Литература:
1. Уйлям Фелър Увод в теорията на вероятностите и нейните приложения Издателство „Наука и изкуство” 1986 г.

Какво ще научим:    
Приложение на z –преобразуванията в теорията за масовото обслужване 		Теория на вероятностите и теорията за масовото обслужване