„ ... мгновения, мгновения, мгновения." Роберт Рождественский     „ ... моментите, моментите, моментите ." превод- Станчо Павлов
Какво трябва да знаем:     Биномно разпределение и схема на Бернули     Експоненциално разпределение
Числови характеристики на дискретна случайна величина - математическо очакване и дисперсия
Числови характеристики на непрекъсната случайна величина - математическо очакване и дисперсия 		Теория на вероятностите
Висша математика III част

Пораждаща функция на моментите

Пораждащата функция на моментите на случайната величина X се дефинира като средна стойност на функцията etX от случайната величина X.
f(x) е плътността на разпределение на X. При дискретна случайна величина определението е подобно:
Ще намерим пораждащата функция на моментите за Бернулиевото разпределение.
Пораждащата функция на моментите за експоненциалното разпределение с плътност      
Средната стойност на една случайната величина е равна на първата производна на пораждащата функция на моментите при t=0.
Нека X е дикретно разпределена. Да дефиренцираме равенството спрямо t:

Подобно е и доказателството за непрекъсната случайна величина:


Вторият момент на случайната величина е равен на втората производна на пораждащата функция на моментите при t=0.
Ще докажем твърдението за непрекъснати случайни величини.
Известно е, че дисперсията е равна на втория момент минус квадрата на първия момент:
D(X) = M(X2) - (M(X))2

Знаейки пораждащата функция на моментите на бернулиевото и експоненциалното разпределение,
можем да намерим техните математически очаквания и дисперсиите.
За Бернулиевото разпределение b(n,p) пораждащата функция на моментите е
Намираме нейната първа и втора производна при t=0, за да определим първия и втория момент.

Замествайки t с 0 и знаейки, че p+q=1 получаваме съответно np и np(1+(n-1)p) = np(np+q)
Първият момент е равен на математическото очакване. Дисперсията е равна на вторият момент минус първия на квадрат.
np(np+q)-(np)2 = npq

Подобно се постъпва и при непрекъснатата, експоненциално разпределена величина.
Не всяко разпределение има пораждаща функция на моментите. Например равномерното, непрекъснато разпределение няма такава.

Но когато пораждащата функция съществува тя напълно определя разпределението на случайната величина.

Доказателството се основава на теорията на трансформациите и не е лесно.
Средната стойност на функцията от случайната величина X     -     ei.tX , където i е имагинерната единица, се нарича характеристична функция.
Какво ще научим:    
Генератор на случайни числа 		Теория на вероятностите
Висша математика III част