В изложението е използвана книгата на Шелдън Рос "Въведение във вероятностните модели"
Sheldon M. Ross Introduction to Probability Models     Department of Industrial Engineering and Operations Researsch University of California, Berkely, California
„Моралът в политиката е вреден за държавата.” – Ахмед Доган
Какво трябва да знаем:     Интегриране по части       Условна вероятност
Числови характеристики на дискретна случайна величина - математическо очакване и дисперсия 		Теория на вероятностите
Висша математика III част

Експоненциално разпределение

Непрекъсната случайна величина заемаща неотрицателни стойности е екпоненциално разпределена, ако има плътност
Средната стойност на екпоненциално разпределена случайна величина е 1/ λ .       Дисперсията му е 1/ λ2.    
Внасяме под знака на диференциала и интегрираме по части.

Параметърът λ е показва колко събития средно се появяват за единица време.
Ако едно събитие се появява средно в период с дължина T то λ е 1/T.
Моделира относително рядко появяващи се събития, като тяхата вероятност за поява в интервал с дължина Δt е λΔt. ?????????
Предполага се, че вероятността за поява на 2 или повече събития в този интервал е невъзможна или пренебрежимо малка.

Примери за експоненциално разпределени случайни величини са:


Плътност на експоненциалната разпределение.
Щрихованата част е вероятността за настъпване на събитието преди времето t0 .

Функцията на експоненциалното разпределение се получава чрез интегриране на плътността в интервал [0, t].

- Функция на експоненциалното разпределение -FExp1
- Функция на експоненциалното разпределение –FExp2
При генерирането на експоненциално разпределена случайна величина трябва при избрано случайно число p
в интервала [0, 1] да намерим t за което p=F(t).      t = F-1(p)
F-1 е обратната функция на F:      -Обратна функция на функцията на разпределение –FExp3

      Основно свойство на експоненциалното разпределение е че ако времето на годност на един инструмент е експоненциално разпределено, то ако интрументът е използван, примерно 10 години то той е като нов за останалото му време за употреба.
Казва се, че случайната величина X е „без памет” ако условната вероятност нейната стойност да е по-голяма от t+Δt при условие, че X > t е равна на вероятността за X > Δt.

P( X > t+Δt / X > t )= P( X > Δt )

Ако си представим, че X е времето за годност на един инструмент, горното равенство показва че инструментът ще е годен поне още Δt време, при условие, че е бил годен в интервала [0, t ] с такава вероятност каквато е и началната за годност в интервала [0, Δt ].
Или с други думи “Ако иструментът е годен в момент t то оставащото му време за годност е с такова разпределение както и началното”.
Сякаш, че инструментът е „забравил”, че е бил използван.

Експоненциалното разпределение удовлетворява това свойство.

Отношението на лицата илюстрира феномена „без памет”.


Да предположим, че средното време за обслужване в един магазин е 10 минути.
Каква е вероятността клиент да прекара повече от 15 минути в магазина?
Каква е вероятността да престои повече от 15 минути, при условие, че стои вече 10 минути

λ=1/10=0,1
Първата вероятносте e-1,5 = 0,223 а втората е e-1,5 / e-1 = e-0,5 = 0,604.
Какво ще научим:    
Генератор на случайни числа 		Теория на вероятностите
Висша математика III част