Какво трябва да знаем:
Функция на две променливи
Частни производни

Съдържание на висша математика I част
Съдържание на висша математика II част

Екстремуми на функции на две променливи
- теория

Функцията z = z(x,y) има максимум в точката (x0 , y0 ), ако z(x0 , y0 ) е най-голямата стойност на функцията в околност на точката (x0 , y0 ).


Функцията z = z(x,y) има минимум в точката (x0 , y0 ), ако z(x0 , y0 ) е най-малката стойност на функцията в околност на точката (x0 , y0 ).


За определяне на екстремумите на една дву-променлива функция е необходимо да се направи следното:
  1. Намираме частните производни .

  2. Решаваме системата: F2 и нека A(x0 , y0 ) е едно нейно решение.

  3. Намираме частните производни от втори ред и образуваме функцията

  4. Определя се стойността на D в точката A( x0, y0 ).
    4а) Ако тази стойност е положителна то функцията z(x, y) има екстремум в тази точка.
    4б) Ако е отрицателно функцията няма екстремум в тази точка.
    4в) Ако е нула се извършват допълнителни изследвания, като се разгледа нарастването на функцията около тази точка в различни направления.


  5. Ако функцията z(x, y) има екстремум определя се стойността на в точката A( x0, y0 ).
    5а) Ако тази стойност е положителна то функцията z(x, y) има максимум в тази точка.
    5б) Ако е отрицателно функцията има минимум в тази точка.


  6. Определя се екстремалната стойност z( x0, y0 ).


Схемата изглежда сложна но Реалността е далеч по-проста.

Какво ще научим:
Екстремуми на функции на две променливи – задачи