Какво е добре да знаем:
Линейни диференциални уравнения - обща теория
Съдържание на висша математика I част
Съдържание на висша математика II част

Линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти (ЛХДУпк)


Те имат вида: y(n) + a1y(n-1) + ... + an-1y' + any = 0, където ai R.
Уравнението: , получено от изходното чрез замяната на y(k) с lk, където l е неизвестно, се нарича характеристично уравнение (ХУ).
След намирането на всички реални и комплексни корени с тяхната кратност и привеждаме характеристично уравнение във вида:
,
където l1, l2, ,... , ll, са различни реални корени от кратност: s1, s2, s3, ... ,sl, а l2 + pil + qi са различни квадратни тричлени с отрицателни дискриминанти.

Тогава на всеки реален корен li от кратност si съответстват si лин. независими решения:
.

На всеки комплексен корен aj i.bj (тук i е имагинерната единица) на l2 + pjl + qj = 0 от израза съответстват 2tj линейно независими решения:


Всички, получени по този начин решения са лин. независими и са n на брой, т.е. образуват фундаментална система от решения.
Ако ги означим с y1, y2, ... ,yn , то общото решение (ОР) на изходното ДУ е: y0 = C1y1 + C2y2 + ...+ Cnyn.
Като се използва формулата на Ойлер: e(a+ib)x = eax.(cosbx + isinbx) , то 2tj-те решения могат да се запишат във вида:
, , където: lj = aj + i.bj и k = 1, 2,...,tj-1

Задача. 1 Решете ЛХДУпк: y''' + y' = 0.
(Решение:) ХУ е: .
Корените му са: 0 и i от кратност 1 и 1.
На тях съответстват решенията:

Общото решение (ОР) е: y0 = C1 + C2cosx + C3cosx.


Ако характеристичното уравнение има посочения вид, намерете общоторешение на съответното уравнение.

З. 2 .
.

З. 3 .
.

З. 4 .
.
.


Намерете ОР на следните ДУ:

З. 5 y'' - 5y' + 6y = 0.
ХУ е: l2 - 5l + 6 = 0 l1,2 = 2, 3. ХУ (l - 2) (l - 3) = 0.
.

З. 6 y'' - 2y' - 2y = 0.
ХУ е: .
.

З. 7 y''' - 5y'' + 17y' - 13y = 0.
ХУ е l3 - 5l2 + 17l - 13 = 0.
Възможните рационални корени са 1 и 13.
Проверяваме със схемата на Хорнер:
1 е корен. на хомогенното уравнение: (l - 1)(l2 - 4l + 13) = 0.
.

З. 8 Намерете частното решение на ДУ: y'' - 5y' + 4y = 0 , удовлетворяващо следните начални условия: y(0) = 1, y*(0) = 1.
ХУ е l2 - 5l + 4 = 0. l1,2=1, 4. (l - 1)( l - 4) = 0. .
C1 и C2 подбираме така, че да се удовлетворяват началните условия:

Така че търсеното частно решение е: y = ex.


Решете уравненията:

З. 9   y'' + 6y'+ 13y = 0 ; y = e-3x(C1cos2x + C2sin2x).

З. 10   yIV + 2yIII + yII = 0 ; y0 = C1 + C2x + e-x(C3 + C4x).

З. 11   yVI - 2yV + 3yIV - 4yIII + 3yII - 2yI + y= 0 ; y = (C1 + C2x)ex + (C3 + C4x)cosx + (C5 + C6x)sinx.


Какво ще научим:
Линейни нехомогенни диференциални уравнения със специална дясна част
Линейни нехомогенни диференциални уравнения с произволна дясна част -
метод на Лагранж или метод на вариациите