Линейни нехомогенни диференциални уравнения с произволна дясна част

Какво е добре да знаем:
Линейни диференциални уравнения -
хомогенни и нехомогенни
Формули на Крамер

Съдържание на висша математика I част
Съдържание на висша математика II част

Линейни нехомогенни диференциални уравнения с произволна дясна част -
метод на Лагранж или метод на вариациите

Такива уравнения се решават чрез метода на вариациите, наричан още метод на Лагранж .

Задача 1 Намерете ОР на ЛнХДУпк:

ХУ е l² + 3l + 2 = 0.

(l+1)(l+2) = 0.

ОР на ЛХДУпк е: y₀ = C₁e^-x + C₂e^-2x.
Прилагаме метода на вариациите и формулите на Крамер:

.

.

.

.

Тогава ЧР на ЛнХДУпк е:

.
ОР на ЛнХДУпк е:

.

З. 2

ХУ на ЛХДУпк е l² + 4 = 0.

.
ОР на ЛХДУпк е: y₀ = C₁sin2x + C₂cos2x.
Прилагаме метода на вариациите:

.

.

.

.

.
ЧР на ЛнХДУпк е:

.
OР на ЛнХДУпк е:

.

З. 3 y'' + 4y' + 4y = e^-2xlnx.

ХУ на ЛХДУпк е: l² + 4l + 4 = 0

(l + 2)² = 0.

.
ОР на ЛХДУпк е: y₀ = C₁e^-2x + C₂xe^-2x.
Прилагаме метода на вариациите:

.

.

.

.

ЧР на ЛнХДУпк е:

.
ОР на ЛнХДУпк е:

.

З. 4

.
( Тази задача се е паднала на изпита на Георги Радев – студент във Технически университет - Варна –специалност "Компютърни системи и технологии". Той се е справил блестящо с нея- уж де.)

ХУ на ЛХДУпк е: l² -1 = 0.

(l -1) (l +1) = 0.

.
ОР на ЛХДУпк е: y₀ = C₁e^x + C₂e^-x.
Прилагаме метода на вариациите:

.

.

.

.

.

.
ЧР на ЛнХДУпк е:

.
ОР на ЛнХДУпк е:

.

Решете ЛнХДУпк:

З. 5 y'' + y + cotg²x = 0 ;

.

З. 6

;

.

Какво ще научим:
Линейни уравнения със специална дясна част