Какво е добре да знаем:
Правилата за дифиринциране и интеграли
Диференциални уравнения от първи ред
Съдържание на висша математика I част
Съдържание на висша математика II част

Линейни диференциални уравнения (ЛДУ) - обща теория

1. Линейни хомогенни ДУ (ЛХДУ)

ДУ: y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1(x)y' + an(x)y = 0 се нарича ЛХДУ от n-ти ред.
Ако е известно едно негово частно решение: y = y1(x) , то полагането y:= y1(x)z(x) , където z(x) е неизвестна функция, води до ЛХДУ от n-1 ред.
Системата от функции: y1, y2,...,yn е линейно независима, ако Вронскиана:

Ако са намерени n линейно независими решения: y1, y2, ... , yn на ЛХДУ (такава система от решения се нарича фундаментална),
то общото решение (ОР) е: y = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn , където Ci са константи.
Задача 1.
Да се намери ОР на ЛХДУ (x2 + 1)y" - 2xy' + 2y = 0 , ако е известно неговото частно решение: y = x.
(Решение:) Проверяваме, че y = x е решение. Наистина: y' = 1, y" = 0. Полагаме: y:= y1(x)z(x) = xz(x).
y:= xz.
y' = z + xz'.
y" = z' + z' + xz" = 2z' + xz".
Заместваме: (x2 + 1)(2z' + xz") - 2x(z + xz') + 2xz = 0 (x2 + 1)(2z' + xz") - 2x2z' = 0.
Полученото ДУ не съдържа z (допуска понижение на реда).
Полагаме z':= u за да понижим реда:
(x2 + 1)(2u + xu') - 2x2u = 0
2x2u + x3u' + 2u + xu' - 2x2u = 0
x(x2 + 1)u' = -2u, което е ДУоп:

Второто решение е: x.z = x2 - 1.

Вронскиана: x и x2 -1 са линейно независими.
ОР е: y = C1x + C2(x2 -1).
Задача 2.
Докажете, че ако y1(x) е частно решение на ЛХДУ y" + p(x)y' + q(x)y = 0, то
е също решение.
Например в Задача 2

Да преминем към решението на задачата.
Ще търсим y2 във вида:
y2 = y1(x).z(x)
y2' = y1'z + y1z'
y2" = y1"z + 2 y1'z' + y1z".
Заместваме в уравнението. Получаваме:
y1"z + 2y1'z' + y1z" + p(y1'z + y1z') + qy1z = 0
(y1" + py1' + qy1)z + 2y1'z' + y1z" + py1z' = 0.
Понеже y1 е решение, изразът в скобите е 0. Получаваме:
2y1'z' + y1z" + py1z' = 0.
Полагаме: z':= u.
Получаваме: 2y1'u + y1u' + py1u = 0. y1u' = -( 2y1' + py1).u, което е ДУоп.
        .
        Тогава:
        .

2. Линейни нехомогенни ДУ (ЛнХДУ)

Техният общ вид е: y(n) + a1(x)y(n-1) + ... + an-1(x)y' + an(x)y = f(x).
ОР е: y(x) = y0(x) + , където y0(x) е ОР на съответното ЛХДУ, а е едно частно решение (ЧР) на ЛнХДУ.
    Така че, за да решим едно ЛнХДУ, трябва да намерим ОР на ЛХДУ и да знаем едно ЧР на съответното ЛнХДУ ( ).
Задача 1.
Решете ЛнХДУ: xy''' - y" + xy' - y = 2x3, ако се знае, че x, cosx и sinx са решения на xy''' - y" + xy' - y = 0
и = x3 е решение на ДУ xy''' - y" + xy' - y = 2x3.

ОР на ЛХДУ е: y0(x) = C1x + C2cosx + C3sinx.
ОР на ЛнХДУ е: y0(x) + = C1x + C2cosx + C3sinx + x3.

3. Метод на Лагранж за намиране на ЧР на ЛнХДУ,
ако се знае ОР на съответното хомогенно ДУ
(метод на вариациите)

При прилагането на метода на вариациите ЛнХДУ трябва да бъде от вида в т. 2., т.е. коефициентът пред y(n) трябва да е единица.
Нека ОР на ЛХДУ е: y0(x) = C1y1 + C2 y2 + ... + Cхyn, където y1, y2, ... ,yn са линейно независими (наричат се фундаментална система от решения на ЛХДУ) и C1, C2, ... ,Cn са константи. За да намерим ЧР на ЛнХДУ, предполагаме, че те са функции от х, удовлетворяващи системата:

Решаваме системата и намираме C1', C2', ... ,Cn' и чрез интегриране намираме C1, C2, ... ,Cn.
Тогава ЧР на ЛнХДУ е: = C1y1 + C2 y2 + ... + Cхyn.
Задача 1.
Знаейки, че:       и     образуват фундаментална система от решения на ЛХДУ:       ,
намерете ОР на ДУ: xy" + 2y' + xy = x.


ОР на ЛХДУ е:        
Образуваме системата:

Решаваме я чрез формулите на Крамер:



ЧР е:       (Много работа за почти нищо!)
Така, че ОР на ЛнХДУ е:        
Задача 2.
Проверете, че функциите y1 = cosx и y2 = xcosx образуват фундаментална система от решения на ЛХДУ y" + 2tgx.y' + (2tg2x + 1)y = 0.
Намерете ОР на ЛнХДУ: cotgx.y" + 2y' + (2tgx + cotgx)y = cos2x.

Заместваме в ХДУ и получаваме:

Разделяме двете страни на ЛнХДУ на cotg(x), за да получим коефициент 1 пред y" в изходното ЛнХДУ:
y" + 2tgx.y' + (2tg2x + 1)y = sinx.cosx.
Образуваме системата:

Решаваме я по формулите на Крамер:


ЧР е: = C1y1 + C2 y2 = (xcosx - sinx)cosx - xcos2x = -sinx.cosx.
ОР е: y = y0 + = C1cosx + C2.xcosx - sinx.cosx.

4. Принцип на суперпозицията (ПС)

Ако дясната част на ЛнХДУ от т. 2. е сума от няколко функции: f(x) = f1(x) + f2(x) + ... + fn(x) и
са частни решения на линейните нехомогенни диференциални уравнения с дясна част fi(x), то
е ЧР на изходното ЛнХДУ.
Задача 1.
Проверете, че и са ЧР-ия на ЛнХДУ-ие: y''' + y' = ex и y''' + y' = 6cos2x.
Намерете ЧР на уравнението: y''' + y' = ex + 6cos2x.

и      
Тогава от ПС

е ЧР на уравнението: y''' + y' = ex + 6cos2x.
Какво ще научим:
Линейни хомогенни диференциални уравнения с постоянни коефициенти (ЛХДУпк)