Преобразуване на координатите на вектор при преминаване от един базис към друг

Какво трябва да знаем: Асоциативност на умножението на матрици
Линейно пространство Преход от един базис към друг - матрица на прехода

Линейна алгебра

Преобразуване на координатите на вектор при преминаване от един базис към друг

Страницата е изработена от Руслан
Нека x е вектор във векторно пространство с базис .
Да ознамим координатите на вектора с бувата x, снабдена с горни индекси и
да подредим тези координати като вектор стълб , означавайки получената матрица с X: Frm1

Тогава можем да изразим вектора x използвайки матричен запис: Frm2

Дотук - добре.
Сега да извършим прехода от базиса Е към базиса с матрица на прехода P:

Нека в новия базис -

векторът x има координати: Frm1_Thilda

Тогава:

Използвайки асоциативността на умножението на матрици получаваме:

От единствеността на представянето на вектор чрез своите координати ролучаваме равенството:

Умножавайки отляво по обратната матрица на P - матрицата Q получаваме:

Или окончателно:

Сравнявайки прехода от от базиса Е към базиса

с прехода при координатите от стария към новия базис

виждаме разликите.
Докато прехода от стария към новия базис се извършва с чрез матрицата на прехода P ,
преобразуването на координатите се извършва с обратната матрица Q .
Това е странно, но е така. Различни са и местата на матриците. В първия случай матрицата на прехода е отдясно във втория, нейната обратна е отляво.

Какво ще научим:
Последователни преходи от един базис към друг