Какво трябва да знаем:
Ред на Тейлор и Маклорен
Степенни редове -
Развитие на тригонометричните, експоненциалната и хиперболичните функции
Редове на Маклорен за елементарни функции - таблица
Полагания в редовете
Получаване на ред на Тейлор от реда на Маклорен
Съдържание на висша математика I част

Ред на Маклорен - пояснения към задачите

Страницата е изработена с помощта на Павел Костадинов Георгиев

Ако функцията f(x) има производни от произволен ред в точката 0, то f(x) се развива в степен ред по стойностите на x:
M1

Този ред се нарича още степен ред около точката 0.
Остатъчния член Rn(x) във формата на Лагранж е:
M2

Остатъченния член във форма на Пеано е:
M3

Последния символ означава, че отношението M4 клони към нула при x клонящо кам нула.
Казва се още, че Rn(x) е безкрайно-малка от по-висок ред спрямо безкрайно-малката величина xn .
За да развием една функция f(x) в ред на Маклорен трябва да намерим първата, втората и т.н. производни
на f(x) и да заместим в тях x със нула.
Производните и техните стойности при x = 0 е удобно да оформят в таблица.
Коефициентът в реда на Маклорен в развитието на f(x) пред xn бъдe MacCom

Пример 1
Ще развием в ред на Маклорен функцията f(x)=ex.

№ f(n)(x) f(n)(0) MacCom
0 f(x)=ex f(x)=e0=1Exmpl1_1
1 f'(x)=ex 1Exmlp1_2
2 f ''(x)=ex 1 Exmpl1_3
3 f(3)(x)=ex 1Exmpl1_4
---------------------------- ----------------------------
nf(n)(x)=ex 1Exmpl1_5

Exmpl1_6

Ред на Тейлор - пояснения към задачите

Ако функцията f(x) има производни от произволен ред в точката x0, то f(x) се развива в степен ред по степените на (x-x0)
Tail1

Този ред се нарича още степен ред около точката x0
Остатъчният член Rn(x) във формата на Лагранж е:
Tail2

Остатъченния член във форма на Пеано е
Tail3

За да развием една функция в ред на Тейлор трябва да немерим първата, втората и т.н.
производни на f(x) и да заменим в тях x с x0.
Удобно е производните и техните стйности в x0 , да се оформят в таблица.
Коефициента в реда на Тейлор в развитието на f(x) пред (x-x0)n бъдe: Tail4.
Пример 2
Ще развием в ред на Тейлор функцията Exmpl2_1 в ред на Тейлор около точката x0 = 1.

№ f(n)(x) f(n)(1) TailComm
0Exmpl2_1_1 11
1 f '(x)=-1.x-2 -1!-1
2 f ''(x) = 2!.x-3 2!1
3f(3)(x) = -3!.x-4 -3!-1
---------------------------- ----------------------------
nf(n)(x)=(-1)n.x -(n+1) (-1)n.n!(-1)n

Коефициентите в реда на Тейлор в развитието на Exmpl2_1 ще бъдат Exmpl2_2 където n е степента на (x-1)
Exmpl2_3

Какво ще научим:
Ред на Тейлор и Маклорен - задачи