Условия на Коши - Риман за аналитичност на функция в С
Нека h е функция от C в C.
h се нарича диференцируема или аналитична в C ако съществува границата
Тук α и Δα са, разбира се, комплексни числа.
α + Δα се доближава до α в комплексната равнина
Дефинитивно се изисква границата да съществува и да е независима от
начина на доближаване на α + Δα към α.
Самата функция h(α) = h(x + iy) може да се представи със своята реална и имагинерна
части.
h(α) = f(x,y)+i.g(x,y)
I.
Първо нека да разгледаме случая, когато α и α +Δα
имат еднакви имагинерни части.
Тогава Δα е реално число, което ще означим с Δx.
α +Δα = x + Δx + i.y.
И при Δα = Δx клонящо към 0 получаваме:
II.
Сега нека α и α +Δα имат еднакви реални части.
Δα е имагинерно число, което ще означим с i.Δy.
α +Δα = x + i.y + i.Δy.
И при Δα =i.Δy клонящо към 0 получаваме:
Приравнявайки двата израза за производната получаваме:
Тези равенства свързващи реалната и имагинерната част на h(α)
се наричат "условия на Коши - Риман" за аналитичност на функцията
h(α) = h( x + i.y) = f(x, y) + i.g(x, y).
Двете функции f и g се наричат хармонично спрегнати една на друга.
Диференцирайки равенствата
съответно по x и по y получаваме
Понеже смесените производни на g са равни получаваме:
Това диференциално уравнение се нарича "уравнение на Лаплас".
Функция, която го удовлетворява се нарича хармонична.
Хармонична е и функцията g.
Пример 1
h(α) = α2
