Намиране на имагинерната част на аналитична функция при дадена реална

Какво трябва да знаем: Условия на Коши - Риман за аналитичност на функция в С Интегрално смятане

Намиране на имагинерната част на аналитична функция при дадена реална

Нека f(x,y) е реалната част на аналитичната функця h(α) = h(x + iy) = f(x, y) + i.g(x, y)
Сред студентските изпити, включващи теорията на аналитичните функции, често витае задачата да се намери имагинерната част на h(α) - g(x, y) и аналитичният израз на h(α).
За тази цел, от първото равенство на условията на Коши - Риман : Holomorphic function

намираме

φ(x) е прословутата константа в неопределения интеграл.
Тя зависи от x, защото интегрирането става по y.
Вече почти познаваме g.
g = G(x, y) + φ(x) , където сме положили

Сега, от второто равенство получаваме:

Знаейки f и G , чрез интегрирани намираме φ(x).

Пристъпваме към намиране на аналитичния израз на h(α).
h(α) = h(x + iy) = f(x, y) + i.g(x, y)

Заместваме y с 0 и получаваме: h(x) = f(x, 0) + i.g(x, 0)

Следователно h(α) = f(α, 0) + i.g(α, 0)

В следващете три примера се изисква да се намери имагинерната част и
аналитичния израз на функцията h(α) при дадена реална част f(x, y)

Пример 1
f(x, y) = x² - y²

g(x,y)=2xy + C
Тук C е произволна, комплексна променлива.
h( x + i.y ) = ( x² - y² ) + (2x.y + C).i
При y = 0 получаваме
h(x) = x² + C ⇒ h(α) = α² + C

Пример 2
f(x, y) = е^xcosy

h( x + i.y ) = е^xcosy + (е^xsiny + C).i
При y = 0 получаваме
h(x) = е^x + C ⇒ h(α) = е^α + C

Пример 3

От второто равенство намираме:
Holomorphic function

Сега пък, от първата равенство:
Holomorphic function

При y = 0 получаваме

До подчертаем отново, че функцията f(x, y) не може да бъде произволна.
Тя трябва да удовлетворява уравнението на Лаплас.

Какво ще научим:

Дали функцията φ е винаги константа?
Възможен ли е друг, по-лесен начин за намирането на h(α), без да се търси g(x,y)?