Съдържание

Комплексни числа - алгебрична форма

Да предположим, че съществува такъв числов обект - i, за който е изпълнено тъждеството i2 = -1.
i не може да бъде реално число.
Множеството C = {a+i.b}, където a и b са реални числа, заедно с дефинираните по-нататък алгебрични операции се нарича множество на комплексните числа.
Елементите от C ще означаваме с малки гръцки букви.

Ако a= a+i.b, числото a се нарича реална част на a и се означава с Re( a)
а числото b - имагинерна част на a и се означава с Im( a).

Две числа се наричат комплексно спрегнати, ако имат еднакви реални чати но противоположни имагинерни. Комплексно спрегнатото на едно комплексно число се означава с поставянето на надлежаща черта над него.

Комплексните числа се изобразяват като точки в Гаусовата равнина.
По нейната абциса се нанася Re( a) а по ординатата Im( a):

Комплексното число като точка

Комплексно спрегнатите числа се изобразяват като симетрични относно реалната ос точки.

Комплексно спрегнати числа

Действията събиране и умножение се извършват като i2 се замети с -1 и се извърши групиране на реалните и имагинерните части.

+,-,.


В последните равенства е използвана формулата за сбор по разлика.
Модул № на комплексното число a= a+i.b се нарича корен квадратен от числото a2 + b2.

Модул от алфа

Обърнете внимание, произведението на две взаимно-спрегнати числа е реално неотрицателно число. Това ни помага да определим частното на две комплексни числа чрез умножение на числителя и знаменателя на комплексно – спрегнатото на знаменателя:

Деление

C, заедно с въведените операции удовлетворява свойствата на поле.



Какво ще научим:
Тригонометрична форма на комплексните числа

Съдържание