Ортогоналност на две семейства спрегнати хармонични функции
Нека h(α) = h(x + iy) = f(x, y) + i. g(x, y) е аналитична функция от C в C.
Знаем, че нейните реална и имагинерна части удовлетворяват условията на Коши - Риман.
Линиите на ниво на функцията са z = f(x, y) са линии в равнината
Oxy с неявни уравнения f(x, y) = C = const.
Същото се отнася и за функцията z = g(x, y).
Нашата цел е да докажем, че във всяка точка на пресичане на
две линии на ниво на функциите z = f(x, y) и z = g(x, y)
допирателните към тях са перпендикулярни.
Знаем, че градиента на функцията z = f(x, y) е перпендикулярен на линията на ниво
z = f(x, y) = f(x0, y0):
Същото се отнася и за
За да докажем, че линиите f = C и g = C' са перпендикулярни в
точката си на пресичане, трябва да докажем, че техните граденти са перпендикулярни.
Тоест, че скаларното им произведение е нула.
