Нещата протичат по познатия начин, както при функция на две променливи.
Намират се частните производни
.
Решава се системата:
Нека A(x0 , y0, z0 ) е едно нейно решение.
Точките с координати – решения на системата се наричат критични точки.
Намираме частните производни от втори ред и образуваме матрицата
В Δ заместваме променливите (x,y,z) с координатите на критичната точка A
(x0 , y0, z0 ).
Получената числова матрица се нарича положително определена,
ако главните й минори са с положителни детерминанти.
И отрицателно определена ако те алтернативно се променят, започваики от минус. Минус, плюс и накрая минус.
Ако матрицата е положително определена, то функцията u има минимум в съответната критична точка.
Ако матрицата е отрицателно определена, то функцията u има максимум в изследваната критична точка.
Ако знаците са определени, но не са в един от посочените два реда то функцията няма екстремум.
Ако един от главните минори има нулева детерминанта са необходими допълнителни изследвания.
.
Решава се системата:
