Екстремуми на функции на три променливи-задачи

Какво трябва да знаем: Екстремуми на функции на три променливи-пояснения

Висша математика II част

Екстремуми на функции на три променливи-задачи

Предложени са за изпит при Висшето транспортно училище – „Тодор Каблешков” - София

Да се изследва за екстремуми на функцията:

1. Намираме частните производни на u.

2. Приравняваме частните производни на нула за да намерим критичните точки.

Система за определяне на критичните точки Sol1_2

3. Решаваме получената система.

От третото уравнение намираме че z е -1.
От второто y = -6x.
Заместваме в първото и получаваме непълното квадратно уравнение x2 -24x=0 с решения x= 0, x=24.

Критичните точки са A(0,0,-1) B(24, -144,-1).
4. Намираме вторите частни производни на функцията u.

5. Образуваме матрицата Δ (делта).

6. Определяме стойността й в точка A.

Стойностите й в критичната точка А Sol1_4

7. Проверяваме за знакова определеност.

Функцията няма екстремум в точка A.
8. Определяме стойността на Δ в точка B.

Стойностите й в критичната точка B Sol1_6

9. Проверяваме за знакова определеност.

Функцията има минимум в точка B.
10. Заместваме координатите на B за да намерим стойността на минимума.

Да се изследва за екстремуми на функцията: Екстремум на функция Task2

1. Намираме частните производни на u.
Използваме формулите: Общи формули Sol2_1

2. Приравняваме частните производни на нула за да намерим критичните точки.

Система за намиране на критичните точки Sol2_3

3. Решаваме получената система.

Имайки предвид, че неизветните са положителни числа и освобождавайки се от знаменателите получаваме: Система Sol2_4

От първото уравнение, имайки предвид, че x,y,z >0 намираме y = 2x.
Заместваме в останалите две. Система Sol2_5

y = 2x = 1.
Критичната точка е A(1/2, 1, 1).

4. Намираме вторите частни производни.
Използваме формулите Общи формули Sol2_6

5. Заместваме (x,y,z) с координатите на единствената критична точка в изследваната област.

Стойностите на делта в критичната точка Sol2_9

6. Определяме вида на екстремума.

Проверка за знакова определеност Sol2_9_1

Екстремумът е минимум.
7. Заместваме координатите на B за да намерим стойността на минимума в областта

Да се изследва за екстремуми на функцията: Екстремум на функция Task3

1. Намираме частните производни на u.
Използваме формулите Общи формули Sol3_1

2. Приравняваме частните производни на нула за да намерим критичните точки.

3. Решаваме получената система.

От второто и третото уравнение намираме че x = 2z.
Заместваме във второто и получаваме системата. Система Sol3_4

Решението на системата е: Решението на системата Sol3_5

Критичната точка е Координати на критичната точка Sol3_6

4. Намираме вторите частни производни на функцията u.

5. Образуваме Δ и заместваме с координатите на намерената критична точка A.

Стойностите на делта в критичната точка Sol3_8

6. Проверяваме матрицата Δ за днакова определеност.

Функцията има минимум в точка A.
7. Заместваме координатите на A за да намерим стойността на минимума.