Линейна комбинация на вектори
Линейна независимост
Нека
V
е векторно пространство над полето
P .
Векторът
x се нарича линейна комбинация на векторите
a1 , a2 ,
a3 , ... , ak
ако съществуват числа
α1 , α2 ,
α3 , ... αk ,
такива, че:
x = α1a1 +
α2a2 +
α3a3 + ... +
αkak
Лиенейната комбинация
0.a1 + 0.a2 +
0.a3 + ... + 0.ak ,
която е равна на нулевия вектор се нарича тривиална.
Линейна комбинация, при която поне един от коефициентите
α1 , α2 ,
α3 , ... αk
е различен от нула се нарича нетривиална.
Ситемата от вектори
a1 , a2 , a3 , ... , ak
се нарича линейно зависима , ако съществува тяхна, нетривиална линейна комбинация,
равна на нулевия вектор.
Или с други думи, ако съществуват k на брой числа, не всички равни на 0, за които
α1a1 + α2a2 +
α3a3 + ... + αkak
= 0 Ако единствената линейна комбинация, даваща нулевия вектор е тривиалната,
то системата вектори се нарича линейно независима.
По друг начин казано:
α1a1 + α2a2 +
α3a3 + ... + αkak
⇒
α1=0, α2=0,
α3=0, .... , αk=0.
Пример 1
От последното равенство следва, че съществува нетривиална линейна
комбинация на векторите
a и
b , даваща нулевия вектор.
Следователно системата
{ a , b } е линейно зависима.
Пример 2
Векторите
са линейно независими.
Какво ще научим:
Базис на векторно пространство
са линейно независими.