Ако две матрици А и В са от вид Anxm и Bmxp
(броят на стълбовете на първата матрица е равен на броя на редовете на втората)
произведението А.В може да бъде извършено.
Резултатът е трета матрица С от вида Cnxp.
cij е произведението на i - тия ред на А по j - тия стълб на В.
Пример 1
Пример 2
Пример 3
Пример 4
Пример 5
Следват някои факти за произведението на матрици.
Можем само да ги имаме за сведение, но ако имаме намерение да разгледаме поясненията
трябва да помислим върху формулировката и да отделим време (поне 5 минути ) в опит да ги
обосновем самостоятелно.
Решенията трябва да бъдат четени със записки и след разбирането на решението да се опитаме
да го възпроизведем.
Дори и да успеем, това е минимумът.
Максимумът е потигане на "убедителната очевидност" - за себе си и за другите.
За другите - най-вече.
Особено за незнаещите.
Ако умножим една квадратна матрица A по единична матрица E , независимо от реда на умножението, ще получим A.
A.E=E.A=A
Решение:
Това равенство се вижда непосредствено от долната картинка.
Гледай
i - тия ред на произведението се получава като умножим i- тия ред на първия множител A по
единичната матрица E.
В резултат се получава i - тия ред на A.
Но понеже убеждавания никога не е доволен от нашите обяснения ще приведем и аналитичното доказателство.
Да означим с P = ( pij ) произведението на двете матрици A и E.
Използваме символа на Кронекер E = ( δij ).
Ако умножим две триъгълни матрици се получава отново триъгълна матрица.
Решение:
Гледай
Да означим с P = ( pij ) произведението на двете триъгълни матрици A и B.
Нека i>j. Понеже aij = 0 при i>j получаваме:
От това, че i>j следва, че bkj =0 .
Тогава: pij = 0.
Нека S е множеството от квадратни матрици от ред n, които изпълняват свойството, че сумата им от елементите на всеки ред е равна на 0.
Нека още A е произволна квадратна матрица от същия ред, както този на матриците от S.
Докажете, че ако s ∈ S то произведението As също пренадлежи на S.
Принадлежи ли на S произведението sA ?
Решение:
Нека s = ( sij ) .
За всяко k е изпълнено
Ще посочим пример
Подобния пример ще ни послужи и като контра пример за втората част от условието
Произведението не принадлежи на S .
Нека за една квадратна матрица се изпълнява свойството: Сумата от елементите на всеки ред е равна на 1.
Произведението на две такива матрици е също такава.
Решение:
Нека матрицата
Ei ↔ j е получена от единичната матрица
Еn
чрез смяна на местата на i-тия и j-тия ред.
Нека още матрицата
Ek,i ↔ j
е получена от единичната матрица
Еn чрез умножаване на i-тия и ред и прибавянето му към j-тия.
Например
E-2,1 → 2 при n=3 е равна на
Нека A е произволна квадратна матрица от ред n.
1. Произведението
Ei ↔ j.A
се получава от матрицата
A чрез размяна на нейните i-ти и j-ти редове.
2.
A.Ei ↔ j
се получава от матрицата
A чрез размяна на нейните i-ти и j-ти стълбове.
3.
Ek, i → j.A
се получава от матрицата
A чрез умножаване на i-тия и ред по k и прибавянето му към j-тия.
4. Произведението
A.Ek, i → j
се получава от матрицата
A чрез умножаване на j-тия и стълб по k и прибавянето му към i-тия.
Не както при редовете!
Решение:
1.
Сега да изършим произведението:
2.
Сега да сменим реда на множителите:
3.
Сега да изършим произведението:
4.
Сега да видим какво става с разместените множители.
В сила е следното свойство на транспонирането на матрици по отношение
на тяхното произведение.
(AB)'=B'A'
Нека матрицата A да е от вида mxn. а B от nxk, за да може произведението отляво да бъде изпълнимо.
Тогава е изпълнимо и произведението отдясно, защото матрицата B' е от вида kxn а A' от вида nxm.
Ще означаваме елементите на A със Aij а на A' с A'ij .
Подобни означения ще използваме и за B и даже за произведенията.
A е симетрична матрица тогава и само тогава, когато
A'=A.
Ако A е симетрична ( антисиметрична) матрица и
T е произволна квадратна матрица от същия вид както и
A,
то T'AT е също симетрична ( антисиметрична) матрица.
