Какво трябва да знаем:       Метод на математическата индукция
Линеен оператор       Намиране на собствените значения на линеен оператор 		Линейна алгебра       Структури

Собствените вектори на линеен оператор,
принадлежащи на различни собствени значения са линейно независими
Страницата е изработена от Руслан


Нека x1 , x2 , x3 , … , xk са собствени вектори, принадлежащи на различните собствени значения λ1, λ2, λ3, …, λk на линейния оператор А.
A(xi ) = λi xi     i = 1…k     λi ≠ λj.

Трябва да докажем че векторите x1 , x2 , x3 , …, xk са линейно независими.
Ще докажем твърдението по метода на математическата индукция.
Ако k = 1 векторът x1 , бидейки собствен вектор е различен от 0, следователно системата { x1 } е линейно независима.
Нека k = 2.
Нека α1 x1 + α2 x2 = 0 и например α1 ≠ 0 .
Прилагайки оператора А, неговата линейност и това, че xi принадлежи на собственото значение λi получаваме: α1 x1 + α2 x2 = 0
Frm5_1

Имаме вече равенствата: Frm5_2
Да умножим второто равенство по -λ2 и да го прибавим към второто.
Frm5_3
Но това е противоречие ( ℵ ) с допускането, че α1 ≠ 0.
Сега да допуснем, че твърдението е доказано за k-1. За k ще имаме равенствата:
Frm5_4
Да допуснем, че сред първите k-1 коефициенти има поне един, различен от нула.
По познатия начин елиминираме последното събираемо.
Получаваме равенството
Frm5_5

Но то противоречи ( ℵ ) на допускането, че първите k-1 вектори са линейно независими.