Нека V е векторно пространство.
Изображението A:V → V се нарича
линеен оператор, ако то е линейно спрямо своя аргумент:
A(αx+βy)= αA(x)+βA(y)
- за всеки два вектора x и y и за всеки две числа α и β от числовото поле.
В даден базис
E=(e1, e2, e3,
... , en)
линейният оператор се характеризира с равенството
A(x)E=AEXE
,
където
AE е матрицата на линеейния оператор
A
в базиса E ,
XE
са координатите на вектора x в същия базис, записани като вектор-стълб а
A(x)E са координатите на образа
A(x).
Използвайки още по -пълно матричния запис, можем да запишем:
A(x)=E.AEXE
Да разгледаме ортогонална координатна система с начало точка O.
Тя дефинира векторно пространство с базис (i, j),
където i и j са единичните координатни вектори.
Да разгледаме линеен оператор
Sym , привеждащ всеки вектор с начало в точката O в
симетричен нему спрямо абцисната ос.
Ще направим чертеж и ще намерим матрицата на
Sym в базиса (i, j).