Внасяне под знака на диференциала

Какво трябва да знаем:
Връзка между интеграл и диференциал
Таблиците-наизуст

Към:

Съдържание на висша математика I част
Съдържание на интегрално смятане

Внасяне под знака на диференциала

Знаем, че dF(x)=F'(x).dx
Ако запишем тази формула обратно: F'(x).dx = dF(x) извършеното действие се нарича внасяне под знака на диференциала.

Например (x²)'.dx = d(x²). Или cos'x.dx = dcosx.
Но функцията пред диференциала не е зададена като производна на F(x), а като f(x).

Как се намира F(x), ако знаем f(x)?
Ето няколко еквивалентни правилни отговора:

F(x) е примитивна на f(x).
F(x) е такава, че F'(x)=f(x).

Може да си изберете който и да е от тях.
Може и трите но трябва да умеете да извършвате това действие правилно.
Ето примерите:

Това действие, съчетано с формулата за сложен интеграл Ви дава възможност да решавате следния кръг от задачи:

Примерите са много. Задача от този тип със сигурност ще присъства на изпита.
Решението се извършва на един ред но горчивият опит ни учи, че изпитваните пишат невъобразими глупости, придружени с безброй зачертавания , ясно демонстрирайки своите незнания.

Решение:
Внасяме x под знака на диференциала.

Прибавяме под знака на диференциала константата -2, мислейки си за табличния интеграл

.
Използвайки формулата за сложен интеграл получаваме:

В името на общността покажете, че:

Пишете!

Защото " Ако с гледане се вземаше занаят, кучето щеше до бъде най-добрия касапин." (българска поговорка)

В задачите не е указано коя функция трябва да внесем под знака на диференциала.
Студента трябва да извърши голяма част от действията наум.
Ето защо е много важно таблиците да се знаят наизуст.
Внасяме sinx и след това cosx под знака на диференциала:

Студента особено е затруднен когато трябва да внесе рационален израз.
Например от вида:

Решение:
Внасяме

под знака на диференциала:

Използвайки табличния интеграл

получаваме:

Ето няколко примера, специално за вас на добра цена.

Има една приказка от математическия фолклор:
"За да се научи човек да решава интеграли, той трябва да реши сам сто интеграла."
Или казано по друг начин:
"За да се научи човек да решава интеграли, той трябва да се научи да решава интеграли."

Какво ще научим:
Интегриране по части