Теорема на Рол

Нека функцията y = f (x) изпълнява условията:

f (x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b].
Диференцируема е в отворения интервал (a, b).
В краищата на интервала [a, b] функцията y = f(x) получава еднакви стойности : f(a) = f(b)

Тогава съществува точка ξ, вътрешна за интервала [a, b]: ξ ∈ (a, b), за която f^/ (ξ) = 0.

Доказателство:
Нека функцията y = f (x) не е константана функция в интервала [a, b]:.
Тогава от теоремата за непрекъснати функции в затворен интерва следва, че
съществува такава стойност ξ ∈ (a, b), за която функцията y = f (x) получава максималната си стойност.
За ξ можем да приложим теоремата на Ферма, от която следва, че f^/(ξ) = 0.

Теоремата на Рол има нагледна геометрична интерпретация.
Тя твърди, че при дадените условия за непрекъснатост и диференцируемост съществува такава точка ξ,
вътрешна за интервала, за която проsизводната на функцията е 0.
Или че допирателната към графиката в точка с координати (ξ , f(ξ) ) е успоредно на абцисната ос.

Ilustration

Всяко от трите условия е от съществено значение.

Ето ги контра примерите:

Fig2
Функцията не изпълнява условието за непрекъснатост в интервала [a, b] .

Fig3
Функцията не изпълнява условието за диференцируемост в интервала (a, b) .

Fig4
Функцията не изпълнява условието f(a) = f(b).

Michelle Rolle
Мишел Рол ( 1652-1718 )
Член на Кралската Академия на науките - Франция

Какво ще научим:
Теорема на Лагранж (Теорема за крайните нараствания)

Теорема на Коши