Означения за производни от n-ти ред Диференциален оператор

Какво трябва да знаем: Четем - пишем!
Изображение (Функция) Линеен оператор Производни от втори ред - задачи

Диференциално смятане

Означения за производни от n-ти ред
Диференциален оператор

Първата производна на функцията f=f(x) се означава с

или с

.
Първото означение се произнася " f прим" а второто "де f , де x"

Втората производна на функцията f=f(x) се означава с

или с

.
Първото означение се произнася " f секонд" а второто "де квадрат f , де x квадрат "

Третата производна на функцията f се означава с

или с

.
Първото означение се произнася "f - терца или f - трета производна" , второто "де на трета f , де x на трета "

n - тата производна на функцията f се означава с

или с

.
Първото означение се произнася " f - n- трета производна" , второто "де на n-та f , де x n-та ".

Под нулева производна на f се разбира самата функция f.

Оператор е изображение, съпоставящо на една функция друга функция. Фигура 1

Такова изображение се явява и "вземането" на производна от k - ти ред .
Означава се с: Формула D2

.
Подразбира се, че на празното място може да се постави произволна функция за която операторът има смисъл.
Например: Формула D3

Тук, както обикновено C е константа.
Диференциалните оператори могат да се умножават по число и да се събират и даже да се умножават помежду си.

Нека D₁ = d/dx е диференциален оператор, приложен към функцията f а
D₂ = d/dx е такъв, приложен към функцията g.

Тогава формулата на Лайбниц

може да се запише така:

Вярно ли е, че:

?
Още един пример, много важен: Диференциален оператор 1

Стойността на Dⁿ при f(x) = f(x₀) няма да е 0 а Диференциален оператор 2

Какво ще научим: Редът на Тейлор, записан с диференциален оператор