Съдържание

Какво трябва да знаем:
Системи - определения

Методът на Гаус за решаване на системи в примери

Пример 1. Ще решим системата: Опитай сам

Обяснение Запис
Умножаваме първото уравнение по -2 и го прибавяме към второто,
с цел коефициентът пред x да се получи 0.
Умножаваме второто уравнение с -1/5,
с цел коефициента пред y да се получи 1. Получаваме:
Умножаваме второто уравнение -1 и го прибавяме към първото,
с цел коефициентът пред y да се получи 0:

Отг. (1 , 2)
Системата е определена.

Пример 2. Ще решим системата: Опитай сам


    Ще работим по схемата от пример 1, но ще представяме отделните уравнения като вектор ред състоящ се от коефициентите пред неизвестните и свободния член, предхождан от вертикална черта.
    Получената матрица, както знаем се нарича разширена матрица на системата.
    По долу е показано едно и също решение при двата записа - пълния и с разширената матрица, придружени с обяснения.
Обяснение Запис с разширената матрица Стар запис
Умножаваме първото уравнение по -1 и го прибавяме към второто,
с цел коефициентът пред x1 да се получи 0.
Аналогично го умножаваме по -2 и го прибавяме към третото със същата цел.
Получаваме системата:
В нея умножаваме второто уравнение с 3 и го прибавяме към третото, с цел коефициентът пред x2 в него да се получи 0.
Умножаваме последното уравнение по -1 и го прибавяме към второто, с цел коефициентът пред x3 в него да се получи 0.
Аналогично го умножаваме по -1 и го прибавяме към първото със същата цел. Получаваме системата:
В нея умножаваме второто уравнение с -2 и го прибавяме към първото,
с цел коефициентът пред x2 в него да се получи 0. Получаваме системата:

Системата има едно решение. Тя е определена.
Отг. x1 = 1 ; x2 = -1 ; x3 = 2 Отг. (1,-1,2)

По - нататък ще решаваме системите използвайки разширената матрица.

Пример 3. Ще решим системата: Опитай сам

Обяснение Запис с разширената матрица
Записваме разширената матрица на системата. Целта ни е да преобразуваме елементите в първия стълб, под главния диагонал в нули.
Умножаваме първия ред с -1 и го прибавяме към втория и след това с -2 и го прибавяме към третия. Получаваме матрицата:
Сега преобразуваме елемента във втория стълб, под главния диагонал в нула.
Умножаваме втория ред с -1 и го прибавяме към третия.
Получаваме матрицата:
Зад последния ред на разширената матрица се "крие" уравнението:
0.x1+0.x2+0.x3 = -1, което няма решение.
Следователно и системата няма решение. Тя е несъвместима .

Пример 4 -най важния. Опитай сам
Обяснение Запис с разширената матрица
Записваме разширената матрица на системата.
Разместваме местата на първия и третия ред с цел да избегнем действията с дроби.
Умножаваме първия ред с -2 и го прибавяме към втория и след това с -2 и го прибавяме към третия.
Получаваме матрицата:
Умножаваме втория ред с 1 и го прибавяме към третия.
Нулевия ред може да бъде премахнат, защото представя уравнението:
0.x1+0.x2+0.x3 = 0, което не носи никаква информация за неизвестните.
Умножаваме последния ред с 1/5 с цел коефициентът пред x2 да се получи 1.
В нея умножаваме второто уравнение с -2 и го прибавяме към първото, с цел коефициентът пред x2 в него да се получи 0. Получаваме:
Системата придобива вида:
Да дадем на x3 произволна стойност - p и да изразим от второто уравнение x2 а от първото x1 получаваме:
Отг.
Системата е неопределена .
Какво ще научим:
Описание на метода на Гаус

Съдържание