Какво трябва да знаем:
Дефиниция на матрица и видове матрици
Линейни системи уравнения
Описание на метода на Гаус

Съдържание на висша математика I част

Обратна матрица-метод на Гаус

Страницата е изработена от Павел Костадинов Георгиев

Нека A е квадратна матрица
Образуваме разширената матрица, като отдясно на матрицата A запишем единичната матрица E като двете матрици отделим с вертикална черта, така както е описано в страницата "Описание на метода на Гаус".
Разширената матрица ще означаваме с
(A | E)

В същата страница са описани и трите преобразувания, които са позволени върху нейните редове.
Чрез използването им привеждаме матрицата отляво в единичната матрица
(E | B)

Тогава отдясно се получава обратната на A:
B = A-1

Това привеждане се извърщва на два етапа, които се наричат "прав" и "обратен" ход.

Прав ход


Горе, вляво трябва да е разположено число различно от нула - за предпочитане едно.
Това число ще означаваме със червено квадратче.
Умножавайки първия ред по подходящи числа и прибавяки го към останалите под главния диагонал, в първия стълб
трябва да получим нули.
Figure 1

С долната, дясна част на матрицата отляво постъпваме по подобен начин.
Figure 2         Figure 3

Продължавайки подобно под главния диагонал трябва да получим нули а по диагонала-единици.
Figure 4

Елементите над главния диагонал са произволни.

Обратен ход


Умножавайки последния ред по подходящи числа и прибавайки го към горните в последния стълб, над главния диагонал трябва да получим нули.
Figure 5

С горната, лява част на матрицата постъпваме по подобен начин.
Figure 6

Продължавайки по подобен начин отляво получаваме единичната матрица в лявата част на разширената матрица.
Тогава отдясно се получава обратната матрица.
Figure 7

Човек, освен че трябва да знае алгоритъма трябва и да е концентриран, защото дори една изчислителна грешка е фатална.
Горчивата истина е че трябва да се решат десетина подобни задачи.

Намерете обратната матрица на матрицата Task 1         по метода на Гаус.

Записваме разширената матрица:
Solution 1

За да получим в горния ляв ъгъл единица умножаваме втория ред по -1 и го прибавяме към първия.
Solution 2

Получаваме:
Solution 3

Умножаваме първия ред последователно по -1 и -3 и го прибавяме към втория и третия съответно, за да получим нули под главния диагонал в първия стълб.
Нашето намерение се изразява така:
Solution 4

След извършването на тези действия получаваме:
Solution 5

Сега ще получим нула под главния диагонал във втория стълб като умножим втория ред на разширената матрица по -2 и го прибавим към третия.
Solution 6
Solution 7

С това правия ход на метода на Гаус е приключен.
Забележете, че при него действията се извърщват отгоре - надолу и отлява надясно.
При обратния ход те се извършват отдолу - нагоре и отдясно - наляво.
Преобразуваме в нули елементите над главния диагонал в третия стълб.
Необходимите действия се отразяват отдясно на разширената матрица.
Solution 8
Solution 9

Остава единствено да получим нула над главния диагонал във втория стълб.
Solution 10

Получаваме:
Solution 11

Отляво е единичната матрица, отдясно се намира обратната на матрицата A.

Какво ще научим: