Какво трябва да знаем:
Действия с матрици
Детерминанти
Съдържание на висша математика I част

Намиране на обратна матрица по метода на адюнгираните количества

Страницата е изработена от Павел Костадинов Георгиев

Нека A е матрица от вида 3x3 с елементи aij .
Адюнгираното количество на елемента aij се означава с Aij .
То се получава като:
  1. В матрицата A се зачертне i-тия ред и j-тия стълб.
  2. От останалите елементи се образува детерминанта от два реда и два стълба.
  3. Получената детерминанта се отчете със знак (-1)i+j .
Ето последователността за намиране на адюнгираните количества на всичките 9 елемента на матрицата A.
Formula 1
Formula 2
Formula 3
Човек трябва да е концентриран.
Адюнгираните количества трябва да се изчисляват наум .
Този автоматизъм се постига чрез решаване на десетина подобни задачи .

След като се намерят деветте адюнгирани количества се използва се използва теоремата на Лаплас за намирането на det(A).

Теорема на Лаплас - I част

Ако умножим елементите на един ред на матрицата А с техните адюнгирани количества и
съберем получените произведения ще получим det(A)-детерминантата на матрицата A.

Ако приложим тази теорена за първия ред ще получим:
Formula 4
Теоремата на Лаплас има и друга част.

Теорема на Лаплас - II част

Ако елементите на един ред на матрицата A умножим с адюнгираните количества на друг ред и
съберем получените произведения ще получим нула.

Ако единия ред е „първия”, а другият е „ третия” теоремата глас че:
Formula 5
Тази част от теоремата може да се използва за проверка за правилното намиране на адюнгираните количества.
Пример 1. Formula 6
Ще намерим адюнгираните количества на първия ред.

Да кажем, че сме получили: A11 = 44 ; A12 = 38 ; A13 = 4
Ако приложим теоремата на Лаплас за втотория ред на A и адюнгираните количества на първия би трябвало да получим:
0 = 1.44 + 2.38 + 3.4
Неверността на равенството показва, че има грешка.
Тя се дължи на това, че не сме отчели знака при A12. Formula 7
След като се намерят деветте адюнгирани количества на А се образува матрицата:
Formula 7_1
(ATilda се чете ”A - тилда”).
Обратната матрица на А е равна на:
AInv
където ATildaPrime е транспонираната матрица на A.
Пример 2
Ще намерим обратната матрица на матрицата Formula 8

Заместваме всеки елемент на матрицата с неговото адюнгирано количество.
Formula 9
Изчисляваме детерминантата на A като използваме теоремата на Лаплас, приложена за първия ред.
det(A) = -1.0 + 1.(-3) + 2.1 = -1
Тогава: Formula 10