Какво трябва да знаем:
Извода на уравнението на елипсата
Уравнения на криви в полярни координати

Аналитична геометрия

Лемниската


Нека в равнината са зададени две фиксирани точки F1 и F2.
Тези точки ще наричаме фокуси.
Лемнискатата ( лента) е множеството от точки, за които произведението на разстоянията до фокусите е постоянно.
Точките се наричат фокуси на лемнискатата.

ρ 1 . ρ2 = const := a2 .


Постъпвайки както при извода на уравнението на елипсата,
изведете уравнението на лемнискатата в декартови и след това в полярни координати.
Скицирайте графиката.

Фокусното разстояние е 2c.
Избираме средата между фокусите за начало на координатната система а абцисата по правата, която ги свързва.
sketch1

Formula1

Formula2

Formula


Повдигаме на квадрат.
Formula

Разкриваме скобите в скобите и опаковаме нещата за да използваме "сбор по разлика".

Formula3

Formula4


Повдигаме на квадрат израза в скобите, като групираме първите две събираеми.

Formula5


Ясно.
Formula6


Заместваме x2 + y2 с ρ 2 и т.н.
Formula7


Квадратно уравнение спрямо ρ 2.


Нещата се опростяват при a = c.
Получава се:
Formula8

В този частен случай кривата се нарича " лемниската на Бернули".



Якоб Бернули
1654 -1705
Швейцарски математик, първи използвал термина "интеграл".
Изследвал е кривата "верижка".
Той е въвел полярната координатна система и е открил кривата, наречена "изохрона".

Наслаждавайте се.



Какво ще научим:
Уравнение на конусно сечение в полярни координати