Използвайки условието три точки T₁ , T₂ и P(x, y) да лежат на една права,
трябва да докажем, че съществуват константи x и y, за които детерминантата

Редовете на детерминантата ще означим с (1), (2) и (3).
От (1) изваждаме (2).
Получаваме:
Умножаваме новия, първи ред по 1/2 и го прибавяме към (2):
От новия втори ред изваждаме (3) и развиваме детерминантата по третия ред.
Получаваме:
Трябва да докажем, че ако X₀ , Y₀ лежат на една права g , то съществуват константи x и y, за които е изпълнено горното равенство.
Да го опростим, изнасяйки от първия ред 2ε2 а от втория ε1.
След това изнасяме от първия стълб a и от втория b.
Получаваме:
Да припомним, че       и .
Нулирането на детерминантата придобива вида:
Да не забравяме, увлечени в изчисления, че трябва да докажем, че ако A е точка с координати (x₀ , y₀ ) лежаща на права g, то съществуват константи x и y, удовлетворяващи горното равенство.

Нека g: y = k.x + B е уравнението на правата, върху която лежи точка A.
Или Y₀ = k₀.X₀ + B₀ , където .
Тук k₀ и B₀ са константи.
X₀ е свободна променлива а Y₀ е зависеща от нея.
Търсим константи x и y, за които е изпълнено тъждеството: .
Ясно!
Заместваме Y₀ с k.X₀ + B₀ и групираме:
Трабва да е в сила независимо от X₀ !
Тогава изразът пред X₀ необходимо трябва да е 0 а (B.y)/b - единица.
Или:
Оттук определяме x и y.

Замествайки k₀ и B₀ с получаваме:

В частност, нека A лежи на директрисата на елипсата с уравнение

да прекараме двете допирателни през точка от нея и да означем допирните точки с
T₁ и T₂ .
Изложеното ни учи, че движейки точка A по директрисата d хордите T₁T₂ се пресичат в една точка.
Да намерим нейните координати.
Директрисата има уравнение
.

Y₀ е произволно.
Изхождаме от уравнението
y трябва да е 0, следователно търсената точка лежи върху голямата ос на елипсата.

Оказва се, че пресечната точка на секущите е фокуса F₁ на елипсата. .