Какво трябва да знаем:
Канонично уравнение на права
Векторно произведение 		Към:
Съдържание на висша математика I част
Съдържание на Аналитична Геометрия

Уравнения на права в пространството

Параметрично уравнение на права през точка, успоредна на вектор

Ако B(x,y,z) принадлежи на g, то векторът AB е колинеарен на g.

Изразявайки параметъра p от трите уравнения на системата, определяща правата g получаваме:

Канонично уравнение на права


Ако са дадени две точки в пространството: A(x1 , y1 , z1 ) и B(x2 , y2 , z2 ) то A лежи на правата AB и векторът AB е успореден на правата AB.
Записвайки каноничното уравнение, получаваме:

Уравнение на права през две точки


Нека равнините a, и b, са зададени със своите общи уравнения:
Тогава тяхната пресечница - g се състои от точки с координати, удовлетворяващи както едното уравнение, така и другото.

Уравнение на права зададена като пресечница на две равнини
Ако n1 е вектор, перпендикулярен на a и n2 е такъв за b,
то n = n1 x n2 е успореден едновременно и на a и на b и следователно е успореден на тяхната пресечница g.

Ако n(a, b, c) можем да съставим каноничното уравнение на правата g ако знаем координатите на една нейна точка, т.е. като намерим едно от безбройно многото решения на системата от две уравнения, определящи правата g.


Пример: Дадена е правата и равнината a: x + 5y - 3z + 2 = 0.
1) Намерете параметричното уравнение на правата g.
2) Намерете координатите на пресечната точка на g с равнината a.

План
  1. Намираме координатите на точка от правата g
  2. Намираме вектор, успореден на g
  3. Съставяме параметричното уравнение на правата g, изразявайки всяка нейна точка с един параметър.
  4. Замествайки тези едно-параметрични координати в уравнението на a намираме стойността на този параметър, а оттук и параметрите на пресечната точка на g с a.


1. В уравненията, определящи правата g. даваме на z произволна стойност – напр. z = 0.
Получаваме системата: , с решение y = -2/7 ; x = 11/7.
Следователно точката, с координати (11/7 , 2/7 , 0 ), лежи на правата g.

2. Векторът n1 (2, -3, 1) е перпендикулярен на първата равнина, определяща g а n2 (1, 2, -1) на втората.
Векторното им произведение с координати (1,3,7) е вектор, успореден на g.

3. Параметричното уравнение на g е:     

4. Замествайки в уравнението на a, получаваме:

Тогава:
Търсената пресечна точка на g с a е с координати: (2,1,3).