Векторно произведение

Векторното произведение на два вектора a и b, което се означава с a x b е вектор.
Този вектор изпълнява три условия:
1. Ако c = a x b то c е перпендикулярен както на a така и на b.

2. Неговата дължина е равна на лицето на успоредника, определен от двата вектора a и b.

3. a, b и c образуват дясна тройка, което означава, че
гледано срещу вектора c, завъртането от a към b е срещу посоката на часовниковата стрелка,
или заставяйки с гръб към третия вектор и с лице към втория първият вектор попада отдясно.

Свойства на векторното произведение

a x b = - b x a

Аналитичен израз на векторното произведение

Записваме координатите на векторите a и b една под друга.
Първата координата на векторното произведение се получава като “зачертнем” стълба, образуван от първите координати на векторите a и b и от останалите координати образуваме детерминанта от втори ред.
Втората координата се получава чрез “зачертване” вторите координати но получената детерминанта отчетем със знак минус.
Третата координата се получава аналогично, но се отчита със знак плюс.

Смесено произведение

Смесеното произведение на три вектора a , b и с , което се означава с (a b c) е число, равно на (a x b).c.
Смесеното произведение (a b c) е равно на обема на паралелепипеда, образуван от трите вектора.

Аналитичен израз на смесеното произведение

Смесеното произведение е равно на нула тогава и само тогава, когато трите вектора лежат в една равнина.
Такива вектори се наричат компланарни.

Задача Даден е тетраедър с върхове: A(2,1,3) B(3,2,5) , C(3,3,6) , D(4,4,2).

Намерете обема на тетраедъра Vтетр
Изчислете дължината на височината му през върха C - h_C

План за решението

а)

Определяме координатите на векторите AB, AC, AD
Определяме обема на тетраедъра чрез смесеното произведение на векторите, намерени от т. 1.

б)

Определяме векторите AB и AD.
Лицето на триъгълника ABD.
От формулата за обема на тетраедър определяме височината през върха C.

Какво ще научим:
Уравнение на права