Експоненциална форма на комплексните числа Формула на Ойлер

Какво трябва да знаем:
Тригонометрична форма на комплексните числа
Развитие на тригонометричните , експоненциалната и
хиперболичните функции в степенни редове

Съдържание на висша математика I част

Експоненциална форма на комплексните числа
Формула на Ойлер

Формулата на Ойлер ни учи че:

e^iπ = -1

или по-общо

e^x+i.y =e^x(cosy+i.siny)

За тези, открити от него формули той е заявил, че не ги разбира.
За да ги разберем, ще заместим в равенството

x със i.x и след това ще отделим реалната и имагинерната части.

Тогава е^x+i.y = e^x.e^i.y = e^x. (cosy + i.siny)
Сега ще си поставим задачата да представим едно комплексно число α във вида α = e^χ , където χ е неизвестно комплексно число.
Разширяваме горното равенство, включвайки реалните и имагинерните части: α = a+ib= e^χ = e^x+i.y = e^x . e^i.y = e^x (cosy+i.siny).
От друга страна, приминавайки към тригонометричната форма на α получаваме равенството:
α = |α| ( cos(argα)+i.sin(argα) ) = e^x (cosy+i.siny), откъдето следва, че

е едно от решенията.

Получаваме:
χ = ln|α| + i.argα

Друга линия, по която можем да продължим е изхождайки от равенството
e^ix = cos(x)+i.sin(x) да изразим sin(x) и cos(x).

Какво ще научим:
Експоненциална форма на тригонометричните функции
Логаритъм от комплексно число