Основни граници

Физически и геометричен смисъл на производната.
Математическо определение.

Физическият смисъл на въвежданото понятие е моментната скорост на движение на тяло. Ако в момента t то е изминало разстоянието S(t) и в един следващ, близък до първия момент-t+Dt е изминало път S(t+Dt), то моментната скорост се дефинира чрез частното [S(t+Dt)-S(t)]/ Dt при Dt приближавашо се към нула.

Нарастването на функцията y=f(x) при изменение на аргумента от x до x+Dx се дефинира чрез разликата f(x+Dx)-f(x).Означава се чрез Dy и е равно на отсечката QP. Отношението QP/AP е тангенсът на ъгъла, който сключва секущата AQ с хоризонталната линия. Когато Dx клони към 0, PQ се доближава до допирателната към графиката през точка A- правата t. Ъгълът QAP клони към ъгълът, който сключва допирателната t хоризонта а отношението Dy/Dx към тангенса на този ъгъл.

Задача1. Намерете производната на ,прилагайки основните граници.

Задача2. Намерете производната на y=ln(x) ,прилагайки основните граници.

Задача3. Намерете производната на y=cos(x) ,прилагайки основните граници и формулата

Таблица на производните

Основни формули

Задача4. Намерете производната на y=tg(x).

Следващият материал е достъпен при успешно решаване на теста.

Сложна функция
Ако знаем от, че производната на функцията F(x) е f(x) то производната на F, не от x а от произволен израз, се получава, като заменим x в f(x) с израза и полученото умножим по производната на израза.
При дадена функция и израз намерете производната на получената функция. Изберете функцията F и израза:
F Функция x на квадрат SQR(x) синус от x sin(x) корен от x SQRT(x) логаритъм от x ln(x) 1 върху x 1/x	Израз Израз SQR(x)+a sin(x) ln(x)