Числа

И рече Господ на Мойсея в Синайската пустиня, в скинята на събранието, в първия (ден) от втория месец, на втората година, откак бяха излезли из Египетската земя, думайки:
2. пребройте цялото общество Израилеви синове според родовете им, според броя на имената им, всички от мъжки пол до един:
3.от двайсет години и нагоре, всички способни у Израиля за война; според опълченията им ги пребройте- ти и Аарон;

Цели числа

Кантор е казал, че числото едно е създадено от бога а всичко останало е дело на човешките ръце.

Числото е общото между групи от еднородни предмети с един и същ брой във всяка от тях. Три дървета и три крави нямат общо помежду си, освен своя брой и всяка крава може да бъде под своето дърво и няма да има дърво, без крава под него.

Броенето е ритъм, зад който се крие една унарна операция-прибавяне на 1, започвайки от 1. Унарна операция е тази, при която от едно(уно)число се получава друго число – например x-> x+1. Друга такава е x -> x+2. Прилагайки я последователно ние ще получаваме четни или нечетни числа, в зависимост от това кое е началното число. Унарна операция е и |x|.

Бинарна е операция, при която от две(би) числа се получава друго число. Например събиране,изваждане и умножение:
( x,y -> x+y; x,y -> x.y )
Естествените числа са 1, 2, 3,… Тяхното множество се означава N:

N={1, 2, 3, 4, 5, 6…}.

Редицата на естествените числа не е ограничена отдясно: Ако M e най-голямото естествено число, то и M+1 e също такова и е по-голямо от M. Много важен, макар и очевиден, е принципът, че всяко непразно подмножество на естествените числа съдържа най-малък елемент.

Ще покажем, че няма неинтересни естествени числа. Да допуснем, че такива има и да означим тяхното множество с Н. Тогава Н съдържа най малък елемент- да го означим с n.
n е най-малкото неинтересно число, или което е същото, то е първото неинтересно, свойство, което го прави интересно, даже много.
Полученото противоречие ни води до заключението, че Н е празното множество.

Операцията изваждане не винаги е приложима към целите числа. Например 5-8 = -3, което обаче не е естествено число. Множество на целите числа се означава Z:

Z={…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}.

Интересно е че целите числа са толкова много, колкото и естествените. Както в примера с кравите и дърветата ние можем да „вържем” всяко цяло число до едно естествено. Ето как:

1	2	3	4	5	6	7	8
0	1	-1	2	-2	3	-3	4

Цената на такова подреждане е висока, защото не винаги по-малкото число е отляво на по-голямото.

Свойства на числата по отношение на събирането

a+0=a	неутрален елемент
a+(-a)=0	противоположен елемент
(a+b)+c=a+(b+c)	съдружително свойство
a+b=b+a	разместително свойство

Числата, които са по-големи от 0 се наричат положителни а тези, които са по-малки от нея- отрицателни. Положителните числа, заедно с нулата се наричат неотрицателни. Аналогична е дефиницията за неположителните числа.

Не бива да се счита, че числото –a e непременно отрицателно. Ако a=-2 то –а=-(-2)=2. Две числа се наричат противоположни ако сумата им е нула. Противоположното на а число е числото –а.
Противоположното на a-b е –(a-b)=b-a. " Противоположното " е унарна операция x -> -x. Ако я приложим два пъти към едно число се получава същото число: -(-x)=x.

Абсолютната стойност (|x|, модул от x)на числото x e или x или –x, в зависимост от това дали x е неотрицателно или отрицателно.

Не може направо да се каже на колко е равно |1-x|.Трябва да се разгледат два случая:първият,когато 1-x е неотрицателно и вторият: 1-x <0.
В първия от тях |1-x|=1-x а във втория |1-x|= x -1.

Правилито за събиране на две числа a и b с противоположни знаци е следното: определят се абсолютните стойности на двете числа и от по-голямата се изважда по-малката, като полученото, неотрицателно число се снабдява със знака на числото с по-голяма абсолютна стойност.

При умножение на три числа е в сила съдружителното свойство: a.(b.c)= (a.b).c.
Разпределителното свойство свързва двете операции: a.(b+c)=a.b+b.c.
За всяко число е в сила: 1.a=a и 0.a=0.
Ако a.b=0 тогава поне един от множителите трябва да е равен на нула.

Правилата за умножение на положителни и отрицателни числа са следните:
(+a).(-b)=a.(-b)=-ab ; (-a).(-b)=ab.

Ще използваме казаното досега за обосноваване на твърдението че (-1).(-1)=-(-1)=1, което словесно може да се изрази така: ако умножим числото -1 със себе си получаваме противоположното на -1.
Трябва да покажем, че сумата на -1 и (-1).(-1) е нула. Това е така защото:
-1 + (-1).(-1)= (-1).1 + (-1).(-1)= (-1).(1 + (-1))= (-1).0=0.

При записване на сложни операции се спазва правилото: два знака за операции нe могат да стоят един до друг. При необходимост се използват скоби.
Изразът a . -b е неправилен. Правилно е: a . (-b)=-a.b=-ab.

В издадения през 1494г. трактат „Сборник от знания по аритметика, отношения и пропорциии” италианският математик Лука Пачоли привежда следния начин за умножение на числа.
Единият множител се записва хоризонтално по обикновения начин, а другият вертикално, под и вляво от него, започвайки отдолу-нагоре, така, че цифрата на единиците да попадне в най-горния ред. Цифрите се разделят с хоризонтални и вертикални линии, така, че да се получат квадрати.

Те се разделят с диагонали, започващи от горния ляв ъгъл на всеки квадрат. В получените две половини на квадрата се вписва произведението на цифрите на множителите, попадащи в съответния хоризонтал и вертикал, така, че цифрата на десетиците да е долу вляво а тази на единиците – горе вдясно.
Цифрите на произведенията се събират по диагоналните ивици, започвайки от най-горната дясна ивица. Резултатите се нанасят отдясно и долу, спазвайки обичайните правила за преход.

Произведението се отчита по долната и дясната страна.

Долу е изобразен пример с произведението на числата 157 и 263. 157 . 263 = 41291

Изложеният метод се нарича „ревност” а защо - ще разберете в осми клас.

Отрицателните числа са били известни в древен Китай още в началото на нашата ера. Те са били илюстрирани като дълг, за разлика от положителните-като имущество. Подредбата на целите числа на числовата ос е следната:

Модулът на x може да се представи като разстоянието меду числата x и 0 на числовата ос. Ето защо |x|=|-x|. Други свойства са:

Ето един въпрос, на който е трудно да се отговори: Кое число е два пъти по-голямо от -4.
Може би може да се обоснове отговорът, че това е 8?

Свойства на числата по отношение на събирането и умножението

свойство		наименование
(a+b)+c=a+(b+c)	(a.b).c=a.(b.c)	съдружително свойство
a+0=a	a.1=a	неутрален елемент
a+(-a)=0	a.a^-1=1	противоположен (реципрочен) елемент
a+b=b+a	a.b=b.a	разместително свойство

Уравнението a+x=b единствено решение: x=b-a.
Ако се ограничим единственно в множеството на целите числа аналогичното уравнение по отношение на умножението: a.x=b има единствено решение само при a=1 или -1.
При a=0 то или няма решение, или има безбройно много такива.
Сред множеството на целите числа няма такова число, чието произведение с 2 да е равно на едно.

Рационални числа

Множеството на рационалните числа се дефинира така:

.
Дробта може да се разглежда като единственото решение на уравнението: q.x=p. Сега е ясно откъде идва ограничението за q. Ако е равно на нула, това уравнение или няма решение, или има безбройно много. Затова числото или изразът в знаменателя трябва да е различен от нула.

Ако a ¹ 0 уравнението a.x=1 има единствено решение , което се означава с a_-1. Множеството на целите числа е подмножество на рационалните: . Свойството: при ¹ 0 се нарича разширяване на дробта, ако го приложим отдясно наляво и съкращаване в обратната посока.
Груба грешка е съкращаване от този вид: .
Две рационални числа се събират, като предварително се приведат към общ знаменател. Грешка е и „събиране” от вида:.
Умножаване на две дроби се извършва по правилото: .
Дробите се възприемат като част от цялото-известно количество, което ще означаваме с A.
Казвайки , ние имаме предвид количествата :
Ако искаме да разберем каква част представлява количеството a спрямо A ние означаваме тази, неизвестна част с x и тогава a=x.A и . Ако знаменателят на дробта изразяваща частта от цялото е 100 изразът може да се замени с p процента от A или p% от A. Ако искаме да разберем какъв процент представлява количеството a спрямо A ние означаваме този, неизвестен процент с x и тогава a=x.A и .

Ще разгледаме една зеленчукова задача.
Една краставица съдържа 99% вода.
В резултат на изсъхването водното съдържание в нея станало 98% водата Колко пъти е намаляло теглото на краставицата? Да означим началното тегло на мартеницата с G1 а следващото с G2.
Приравнявайки сухите вещества в единия и в другия случай получаваме: или G1 =2.G2 .
Или в началото краставицата е два пъти по-тежка от след това. Неочаквано. Нали.

Реципрочна дроб на дадена a се нарича тази получена от изходната, чрез разменяне местата на числителя и знаменателя. Означава се с a ^-1 :

Реципрочността е една унарна операция дефинирана за всички рационални числа, различни от нула. Делението на две дроби се извършва, като първата от тях се умножи по реципрочната дроб на втората:

Тук r трябва да е различно от нула.

В средновековна Италия единици са умели да извършват това действие. Наричали са ги магистри по делението. Срещу заплащане са го извършвали при сложни изчисления в счетоводството, пътувайки от град на град.
Действието деление се означава обикновено с дробна черта. Тяхното наслагване обикновено води до колебание при по-неопитния магистър по делението. Ето два примера:

Накрая ще приложим формулата за изчисляване на таксата за вода

където x е показанието на водомера (различно и много по-голямо от нула число), отчетено от оторизиран водопроводчик.
Всички права за тази фомула са запазени и са изключителна собственост на ВИК.

Степени

Ако n е естествено число и a е рационално произведението n.a може да се представи като събиране на числото a само със себе си n пъти:

Аналогично степенуването се представя като умножение на a само със себе си n пъти:

Числото a се нарича основа на степента а n степенен показател.
Например a¹ =a ; a² =a . a ; a³ =a . a. a ; a⁴ = a . a. a . a и т.н.
Да не забравяме, че n е естествено число.
Ако a е отрицателно число има голямо значение дали n е четно или нечетно.
Например (-1)² =(-1).(-1)=+1=1. Но (-1) ³ =(-1).(-1).(-1)=-1.
Изобщо (-a)²ⁿ = a²ⁿ и (-a)²ⁿ⁺¹ = -a²ⁿ⁺¹ .
Приложими ли са тези формули при отрицателно a?

Нека n и m са естествени числа. Тогава:

. От тук следва и формулата aⁿ . a^m . a^r = a^n+m . a^r = a^m+n+r .
Разбира се, лявата страна на равенството може да съдържа и повече събираеми.
Можем да изразим словесно последната формула:

При умножаване на степени с еднакви основи се получава степен със същата основа и степенен показател, равен на сумата на степенните показатели на множителите.

Ще степенуваме степен:

А сега –внимание! Ще делим!
. Щом a е в знаменателя a трябва да е различно от нула.
Да предположим в началото, че n>m .
При n=m съкращението е пълно и получаваме важното равенство a⁰ = 1 .
Да не забравяме, че a¹ 0. Изразът 0⁰ е лишен от смисъл.
Ако степения показател в знаменателя е по-голям от този на числителя, т. е. m>n получаваме: .

Така, че: .

Ето един пример: . Така, че: .
Така се дефинира степен с отрицателен показател: .

Да обобщим:

Свойства на степените

Ред на извършване на операциите

Ако в един израз няма скоби то:

Действията не се извършват отляво-надясно. Например: 2+2.2 не е равно на 8 а на 6.

Извършва се действието степенуване.
Извършват се действията умножение и деление.
Извършват се действията събиране и изваждане.

Ако в един израз има скоби то:

Извършват се действията в скобите.

Пропорции

Пропорция между четири величини a, A, b и B, които ще наричаме съответно първа, втора, трета и четвърта е отношението: или a : A = b : B.

Ако , величините a1, a2 , a3 , … an се наричат пропорционални на
A1, A2 , A3 , … An с коефициент на пропорционалност к.

Ето какво казва татко Евклид по въпроса в петото определение на петата книга на Началата ( Елементи ).

Казва се че величините се намират в едно и също отношение- първата към втората и третата към четвъртата, ако равнократните на първата и третата са едновременно по-големи, или едновременно равни,или едновременно по-малки от равнократните на втората и четвъртата, всяка за всяка, при каквато и да е кратност, ако ги вземем в съответния им ред.

Подчертаните думи са дефинирани в предните определения.

Ако имаме предвид само Евклидовото определение, може ли една от четирите величини да е нула?

Например: .

Пропорциите се записват и така: a : A = b : B. Чете се: " a се отнася към A така, както b към B ".
Ако две величини b и B се отнасят както a към A то съществува такова x, че b=a.x и B=A.x.
Това число е коефициента на пропорционалност.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ако искате, се върнете обратно в началната страница, но горещо Ви препоръчвам този тест.