Системи от обикновени диференциални уравнения

Линейни системи

Общият вид на линейните системи е: , където x и y са неизвестни функции от независимата променлива t а с и са означени техните производни спрямо t.

От първото уравнение може да се изрази неизвестната функция и чрез това равенство да се намери и да се заместят и y във второто уравнение. Така се получава линейно ДУ спрямо x, решавайки го и замествайки x и в равенството за y решаваме системата.

Задача1. Решете системата:

Задача2. Решете системата:

След решението: Ако съберем двете страни на системата получаваме: , което значително може да облекчи решаването на системата. Функцията се нарича пръв интеграл на системата.

Изобщо така се нарича функция на неизвестните x , y и т.н. и независимата променлива t, която не е константа, но ако x(t), y(t) и т.н. са решения на системата, то заместени в F се получава константа.

Задача3. Решете нелинейната система:

Линейни частни хомогенни диференциални уравнения

Общият им вид е: , където X, Y, Z са функции на независимите променливи x, y z . От формулата за пълния диференциал е естествено да се предположи, че X, Y и Z са пропорционални на dx, dy и dz . Доказано е твърдението, че изходното ДУ е еквивалентно на системата обикновени ДУ. За да се реши последната система е необходимо да се намерят два независими първи интеграла от вида fi (x,y,z)=Ci , i=1..2. Тогава решението на изходното уравнение е: u=u(f1 , f2 ), където u е произволна функция на f1 и f2 . При решаване на последната система е удобна да се използва следните свойства на пропорциите и диференциалите:
където α 1, α 2, α 3 са произволни функции на x y и z .
xdy + ydx = d(xy) ;
.

Задача4. Решете уравнението: .

Задача5. Решете уравнението: .

Задача6. Намерете решението на уравнението , минаващо през правата:.

Как можем да съставим уравнение с предварително известно решение? Нека решението му да е u= u( C ), където C=C(x,y) е един първи интеграл.
Тогава: изразявайки u’ и замествайки във второто равенство получаваме търсеното уравнение. Задача 7. Съставете уравнение от вида: , с решение u=u( x2 +y2 ).

Задача 8. Решете уравнението: .

Задача 9. Решете уравнението: .

Задача 10. Решете уравнението: .

Как можем да съставим уравнение с предварително известно решение?
Нека решението му да е u= u( C1 , C2 ), където C1= C1(x,y,z) и C2= C2(x,y,z) са два първи интеграла на търсеното уравнение.
Тогава: .
Изразявайки частните производни на u спрямо C1 и C2 от двете уравнения, и замествайки в третото получаваме търсеното линейно уравнение.

Задача 11. Съставете уравнение от вида: с дадени два първи интеграла:
C1 = x2+sin(xy) и C2 = xz.


Линейни частни нехомогенни диференциални уравнения

Общият им вид е:, където X, Y, Z и R са функции на независимите променливи x, y z и на зависимата променлива u, за разлика от хомогенните. Да предположим, че функцията u, зададена неявно чрез връзката s(x,y,z,u)=0 удовлетворява даденото уравнение. Тогава: .
Но разглеждайки u като функция на x, y z получаваме:.
Аналогични са формулите за производните по останалите променливи.
Така получаваме: , което е еквивалентно на:.
По този начин нехомогенното уравнение от 3 променливи се свежда до хомогенно, но от 4 променливи.

Задача 12.Решете уравнението:.

Двете функции X=X(x,y) и Y=Y(x,y) дефинират векторно поле в равнината Oxy.
Системите от вида dx/X=dy/Y дефинират крива допираща се във всяка своя точка до вектора от векторното поле.
В долната страница се дефинира поле насочено от червените точки към зелената. Щракайки с мишката се изобразява крива, отговаряща на изразеното по-горе условие.