Елементарни дроби

Една задачка от детството ме впечатли твърде много:
Да се намери сумата:

Условието е впечатляващо но нейното решение още повече:

Тогава сумата се представя във вида:

И след съкращенията получаваме:

Знаменателите са произведение от две последователни числа и простото равенство

се използва 99 пъти.

Дробите от вида:

където A, B, b и c са реални числа и дискриминантата на квадратния тричлен е отрицателна, се наричат елементарни дроби.
Гаус е доказал, че всяка рационална функция , когато степента на числителя е по- малка от степента на знаменателя, се представя като сума на елементарни дроби.

Но как става това?

Q(x) се разлага на множители от вида (x-a)n и (x2 +bx + c)n .
На всеки множител от първия вид в сумата участват събираеми от вида:

А на всеки множител от втория, също толкова, но от вида:

Намирането на неизвестните коефициенти става като се освободим от знаменателите и след това :
Например:

Разполагайки с тези връзки, определяме A = 1, B = 1, C = -1 и D=1 и получаваме равенството:


Ще разгледаме няколко примера:

Пример 1



Пример 2



Пример 3



Пример 4



Пример 5



Пример 6



Пример 7



Пример 8