Една задачка от детството ме впечатли твърде много:
Да се намери сумата:
Условието е впечатляващо но нейното решение още повече:
Тогава сумата се представя във вида:
И след съкращенията получаваме:
Знаменателите са произведение от две последователни числа и простото равенство
се използва 99 пъти.
Дробите от вида:
където A, B, b и c са реални числа и дискриминантата на квадратния тричлен
е отрицателна, се наричат елементарни дроби.
Гаус е доказал, че всяка рационална функция
, когато степента на числителя е по- малка от степента на знаменателя,
се представя като сума на елементарни дроби.
Но как става това?
Q(x) се разлага на множители от вида
(x-a)n и (x2 +bx + c)n .
На всеки множител от първия вид в сумата участват събираеми от вида:
А на всеки множител от втория, също толкова, но от вида:
Намирането на неизвестните коефициенти става като се освободим
от знаменателите и след това :
или се разкрият скобите и се приравнят коефициентите пред еднаквите степени на x,
или x се замества с подходящи числа,
или и двете.
Например:
Замествайки x с 0 получаваме: 1 = - A + B + D.
Още по-удобно е да заместим x с 1 - стойност,
която анулира един от множителите в знаменателя: 2 = 2B
Замествайки с 2i получаваме: -2 – 2i = (Ci+D)(-2i) = 2C – 2Di ,
откъдето следва, че C=-1 и D=1.
Ако приравним свободните членове от двете страни на равенството [1] получаваме:
1 = - A + B + D, което е същото, както при x = 0.
Ако приравним коефициентите пред x3 : 0 = A +C.
Разполагайки с тези връзки, определяме A = 1, B = 1, C = -1 и D=1 и получаваме равенството:
Ще разгледаме няколко примера:
, когато степента на числителя е по- малка от степента на знаменателя,
се представя като сума на елементарни дроби.
