Какво трябва да знаем:
Граници на функции 		Изследване на функции


Теореми за непрекъснати функции

Теорема 1

Ако функцията y = f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b], то за всяко ε >0
интервалът [a, b] може да бъде разделен на краен брой затворени подинтервали ,
такива, че | f(x') - f(x") | < ε за всеки две точки x' и x" от един и същ подинтервал.

Доказателство:
Ще допуснем противното, че интервалът не може да се раздели на подинтервали, такива че ако вземем две точки от един от тях, абсолютната стойност на разликата между стойностите на функцията в тях да е по-малка от епсилон.
Да разделим интервала [a ,b] на два подинтервала с равни дължини.
Ако и двата подинтервала могат да се разделят на краен брой подинтервали, изпълняващи споменатото условие, то и целият интервал може да се раздели на краен брой интервали, изпълняващи условието.
По допускането, един от тях не може да се раздели на краен брой интервали изпълняващи условието (КБИИУ).
Разделяме този подинтервал на два равни подинтервала.
Единият от тях не може да се раздели на КБИИУ.
Продължавайки това разделение, ще получим безбройно много вложени един в друг интервали,
всеки един от който не може да се раздели на КБИИУ.

Figure 1


Техните леви граници образуват растяща редица а десните им - намаляваща.
Разликата между десните и левите граници клони към 0.
Съществува точка c, лежаща във всички тези вложени интервали.
Ако an е лявата граница а bn - дясната на n-тия интервал, то an и bn клонят към c при n клонящо към безкрайност.
Ще достигнем до противоречие с това, че в точка c функцията е непрекъсната.
От Formula 1 следва, че за ε съществува δ>0, такова че от |x-c|< δ следва че | f( x )-f( c ) |< ε.
От an → c и bn → c следва, че при достатъчно големи n ще настъпи момент, в който те ще попаднат на разстояние по-малко от δ от c.
А това е дългоочакваното противоречие с предположението, че интервалът (an bn ) не може да се раздели на КБИИУ,
защото той самият представлява такова разделение.

Figure 2

Теорема 2 (Теорема за равномерната непрекъснатост)

Ако функцията y = f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b] то тя е равномерно непрекъсната в този интервал,
т.е. за всяко ε >0 съществува δ>0 , такова, че ако | x' - x'' |< δ то | f(x') - f(x") |< ε.

Доказателство:
Основавайки се на теорема 1, можем да разделим интервала [a b] на краен брой интервали, такива че каквито и две точки x' и x" да вземем от един от тях, абсолютната стойност на разликата между f(x') и f(x") ще бъде по-малка от ε/2.
Нека δ е минималната дължина на всички интервали.
Тогава ако за две точки x' и x" се изпълнява условието |x'-x"|< δ то те попадат или в един интервал или в два съседни.
Първият случай е ясен.
При втория се възползваме от неравенството на триъгълника.

Figure 3


Ако означим с γ дясната граница на интервала [an , bn ]в който попада x' (γ = an+1 = bn ) тогава
|x'- γ|< ε/2 , защото x' и γ попадат в един и същ интервал.
По същата причина и | γ -x" |< ε/2.
От неравенството на триъгълника следва   Formula 3_1 , което доказва твърдението.

Следствие


Ако функцията y = f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b] то тя е ограничена в него.


Доказателство:
Ако функцията y = f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b], можем да разделим интервала на краен брой, да кажем n, затворени подинтервали, за които е изпълнено неравенството | f(x')-f(x") |< ε за произволни две точки x' и x" от един и същ подинтервал.
Тогава, тръгвайки от a ние можем да се отдалечим най-много на разстояние n.ε от стойността f(a), което показва че функцията y=f(x) е ограничена в интервала [a, b].

Теорема 3 ( за екстремалните стойности)


Ако функцията y = f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b]
то тя е достига в него своята най-голяма и най-малка стойност.

Доказателство:
Нека M е точната горна граница на стойностите на функцията f(x) в множеството [a, b].
Допускаме, че не съществува стойност ξ ∈ [a, b], за която f(ξ) = M.
Тогава M-f(x) ще е различно от нула при x∈ [a, b].
Функцията Formula 2 ще бъде непрекъсната функция като частно на две непрекъснати функции.
Като такава тя ще бъде ограничена на интервала [a, b]. ( Следствие от Т2)
Но M е точната горна граница на стойностите на f(x).
Тогава за всяко ε ще съществува стойност x0, за която |M-f (x0)|< ε, откъдето следва, че Formula 3,
което противоречи на ограничеността на φ(x) поради това, че ε е произволно малко.

Figure 4
Пример за прекъсната функция, която не достига своята точна горна граница

Теорема 4

Ако функцията y = f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b] и в краищата на интервала тя има стойности с различни знаци, то
съществува точка ξ , вътрешна за интервала, за която f(ξ) = 0.

Доказателство:
Допускаме, че не съществува стойност ξ∈ [a, b], за която f(ξ) = 0.
Тогава функчията M-f(x) ще е различно от нула в [a, b].
Разглеждаме функцията Formula 4, която ще бъде непрекъсната функция като частно на две непрекъснати функции,
чийто знаменател е различен от 0.
Разделяме интервала [a, b] чрез краен брой междинни точки на подинтервали, такива,
че |f(x')-f(x")|< ε за две точки x' и x" от един и същ подинтервал (Т1).
Сред подинтервалите ще има поне един такъв [ an , bn ] , за който f(an) и f(bn) ще имат различни знаци.
Тогава |f(an) - f(bn)|< ε .
Понеже двете стойности са с различни знаци то Formula 5 което показва, че φ е неограничена.
А това противоречи с нейната непрекъснатост (следствието от Т2).

Следствие (Теорема за междинните стойности, Теорема на Болцано )

Ако функцията y = f(x) е непрекъсната в затворения интервал [a, b] и M и m са
нейната най-голяма и най-малка стойност а числото m0 е между тях, то съществува
точка ξ , вътрешна за интервала, за която f(ξ) = m0 .

Доказателство:
По Т3 съществуват стойности x1 и x2 , в които функцията f(x) получава своите екстремални значения.
В интервала [x1 , x2 ] функцията f(x) ще бъде непрекъсната.
Разглеждаме функцията φ(x) = m0 - f(x).
φ(x1) и φ(x2) ще имат различни знаци.
От Т4 съществува стойност ξ , в която f(ξ) = m0 .