В математиката под непрекъснатата функция се разбира такава,
при която малки промени в аргумента водят до малки промени в стойността на функцията.
В противен случай функцията се нарича прекъсната.
Интуитивната идея за непрекъснатост е, че графиката на непрекъснатата функция може да бъде
начертана без да дигаме тебешира от черната дъска.
Пример за непрекъсната функция е ръстта на човек в зависимост от неговата възраст.
Пример на прекъсната функция е броят на парите, които човек притежава във всеки един
момент от неговия живот.
Коши е дефинирал непрекъснатостта използвайки интуитивната представа за
безкрайно малка ( инфинитезимиална) величина.
Безкрайно малка промяна на аргумента при непрекъснатата функция води до безкрайно
малка промяна на стойността на функцията.
Нека е дадена функция с дефиниционна област реалните числа или интервал от тях.
Тя е непрекъсната, ако нейната графика в декартова координатна ситема е непрекъсната
линия - без "прескачания" или "дупки" по нея.
Функцията f(x) се нарича непрекъсната в точка c от дефиниционната си област,
тогава и само тогава, ако границата на f(x) ,
при x клонящо към c , и x оставящо в
дефиниционната област на f съществува и е равна на f ( c ).
Математически това се записва така:
Ако c не е гранична точка от дефиниционната област на f(x) не може да се говори за
граница, така че функцията е непрекъсната в c ,
защо от невярно твърдение може
да се изведе всяко друго. ( Импликацията 0 → 1 е вярна).
Така че ако функцията е дефинирана само в множеството на целите числа тя е непрекъсната.
Вайерщрас е дефинирал понятието непрекъснатост без да използва понятието граница на функция.
Да разгледаме отново функция f: A → B , изобразяваща множество от реални числа в
множество също от реални числа.
Казваме, че y = f(x) е непрекъсната в точка c ако за всяко ε >0 ,
колкото и малко да е то, съществува число δ >0,
такова че за всяко x от
дефиниционната област, от неравенствата
c - δ < x < c + δ следват неравенствата
Бернард Плацидус Йохан Непомук Болцано (1781 – 1848) Математик от Бохемия , бил е също теолог, католичестки свещенник и пацифист. |
Барон Август-Луи Коши (1789 - 1857) Математик от Франция, бил е роялист и за възгледите си дълго е живял в изгнание. |
Карл Теодор Вилхелм Вайерщрас (1815 – 1897) |